(人教B版)2025秋高中数学必修一同步讲义3.1.2函数的单调性(4知识点+11题型+巩固训练)(学生版+解析).docxVIP

3.1.2函数的单调性

课程标准

学习目标

1、了解函数单调性的概念，会用定义判断或证明函数的单调性

2、会借助图像和定义求函数的单调区间

3、理解函数的最大(小)值及其几何意义，并能借助图像求函数的最大(小)值

4、会借助函数的单调性求最值

5、会根据函数的单调性求参数或解参数不等式

了解函数单调性的概念，理解函数的最大(小)值及其几何意义

借助图像求函数的单调区间和最值

判断函数区间的单调性和求最值

函数最值在实际生活中的应用

知识点01增函数、减函数的定义

条件

一般地，设函数yf(x)的定义域为D，且I?D，如果对任意x1，x2∈I，当x1x2时，都有

f(x1)f(x2)

f(x1)f(x2)

结论

则称yf(x)在I上是增函数(也称在I上单调递增)

则称yf(x)在I上是减函数(也称在I上单调递减)

图示

自左向右图像逐渐上升

自左向右图像逐渐下降

注：(1)“区间I?D”说明函数的单调区间是其定义域的子集，不一定是定义域．

(2)x1，x2的三个特征：

①同区间性，即x1，x2∈I；

②任意性，即不可用区间I上的两个特殊值代替x1，x2；

③有序性，即需要区分大小，通常规定x1x2.

(3)自变量的大小与函数值的大小关系：

①单调递增：x1＜x2?f(x1)＜f(x2)，x1＞x2?f(x1)＞f(x2).

②单调递减：x1＜x2?f(x1)＞f(x2)，x1＞x2?f(x1)＜f(x2).

即可以利用单调递增、单调递减的定义实现自变量的大小关系与函数值的大小关系的直接转化．

(4)若f(x)在区间I上为增(减)函数，则函数f(x)的图像在区间I上的对应部分自左向右逐渐上升(下降).

【即学即练1】（2024·高一课时练习）若函数的定义域为，且满足，则函数在上（）

A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．不能确定

【即学即练2】（2024·高一课时练习）设函数在区间上有意义，任意两个不相等的实数，下列各式中，能够确定函数在区间上单调递增的是（）

A．B．

C．D．

知识点02单调性、单调区间、单调函数

如果一个函数在某个区间I上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间I上具有单调性．区间I称为函数的单调区间．

如果一个函数在其整个定义域内具有单调性，则称此函数是单调函数．

注：(1)由于函数在单独的一个x值处不存在单调性，因此写单调区间时可以包括区间端点，也可以不包括，但单调区间一定不包括使函数无意义的x的值．

(2)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或逗号连接．

【即学即练3】（2024·高一课时练习）如图为的图象，则它的单调递减区间是.

知识点03函数的最大(小)值

名称

定义

几何意义

函数的

最大值

一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点．

函数的最大值对应其图像最高点的纵坐标．

函数的

最小值

一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点．

函数的最小值对应其图像最低点的纵坐标．

说明：最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点．

注：函数的最值和值域的联系与区别

(1)联系：函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质，针对的是整个定义域．

(2)区别：

①函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在；

②若函数的最值存在，则最值一定是值域中的元素；

③若函数的值域是开区间(两端点都取不到)，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值．

【即学即练4】（2024·高二课时练习）已知，求函数在区间上的最大值与最小值．

知识点04函数的平均变化率

（1）直线的斜率

一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称eq\f(y2－y1,x2－x1)

为直线AB的斜率；当x1x2时，称直线AB的斜率不存在．

①直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度．

②若记Δxx2－x1，相应的Δyy2－y1，则当Δx≠0时，斜率可记为keq\f(Δy,Δx).

（2）平均变化率

一般地，当x1≠x2时，称

eq\f(Δf,Δx)eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)

为函数yf(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变化率．

利用上述结论，我们可以证明一个函数的