(人教B版)2025秋高中数学选择性必修三同步讲义第6章拓展提升01导数与不等式(5大热点题型+精讲精练)(学生版+解析).docxVIP

拓展提升01导数与不等式

题型01不等式的证明

考向一单变量不等式的证明

策略1作差构造法

解题锦囊

（1）待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证．

（2）利用作差构造法证明不等式的基本步骤

=1\*GB3①作差或变形；

=2\*GB3②构造新的函数g（x）；

=3\*GB3③利用导数研究g（x）的单调性或最值；

=4\*GB3④根据单调性及最值，得到所证不等式.

【典例1】（24-25高二下·广东阳江·期中）已知函数，其中.

(1)若，求的极值；

(2)证明：.

【变式1】（2025高二·全国·专题练习）当时，证明：.

【变式2】（24-25高三上·广东江门·阶段练习）设函数.

(1)求在处的切线方程；

(2)证明：：

【变式3】（24-25高二上·山西·期末）已知函数（为自然对数的底数，），函数的极值点为0．

(1)求的值；

(2)证明：对

【变式4】（2024·河北石家庄高三统考模拟）已知函数，.

(1)若函数在上单调递增，求a的取值范围；

(2)若，求证：.

策略2双函数构造法

解题锦囊

若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标．

【典例2】（2024·银川一中高三模拟）已知.

(1)求曲线在处的切线方程；

(2)当时，证明.

【变式1】（2024·四川成都高三模拟）已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)证明：当时，.

【变式2】(2025高三专题训练)已知函数f(x)＝ex＋x2－x－1.

(1)求f(x)的最小值；

(2)证明：ex＋xlnx＋x2－2x0.

策略3放缩法

解题锦囊

从参数范围切入主要由两种方法：（1）在给出了参数取值范围来证明不等式恒成立的题目中,把参数按取值范围放缩为常数.例如:已知参数,证明恒成立,按去参数放缩可得,只需要证明即可.

（2）根据参数的范围，可以去除参数或者简化不等式,进而快速得到证明.比如要证明,如果能够得到,则把直接扔掉,若成立,则不等式恒成立.

【典例3】已知函数,若,证明:.

【变式1】设函数，证明：

【变式2】（2024·陕西榆林高三模拟）已知函数，.

(1)求函数的极值；

(2)证明：当时，在上恒成立.

考向二双变量不等式的证明

解题锦囊

（1）分离变量构造：将两个变量分离，根据式子的特点构造新函数，利用导数研究新函数的单调性及最值，从而得到所证不等式．

（2）换元构造：将两个变量分离，根据式子的特点构造新函数，利用导数研究新函数的单调性及最值，从而得到所证不等式；

（3）换元构造：将要求证的不等式等价变形，然后利用整体思想换元，再构造函数，结合函数的单调性可证得.

【典例4】（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数.

(1)当时，求曲线在处的切线方程；

(2)若有两个零点，且，证明：.

【变式1】（24-25高二上·重庆·期末）已知函数．

(1)讨论函数的单调区间；

(2)若有两个极值点，证明：．

【变式2】（24-25高二上·湖南·期末）已知函数，.

(1)若，求曲线在点处的切线方程；

(2)若对任意，不等式恒成立，求a的值；

(3)若实数m，n满足，证明：.

【变式3】（24-25高三上·江苏镇江·开学考试）已知函数．

(1)函数是否具有奇偶性?为什么?

(2)当时，求的单调区间；

(3)若有两个不同极值点，，证明：．

考向三求和型不等式的证明

【典例5】（24-25高二上·湖南长沙·期末）设函数（）.

(1)当时，讨论函数的单调性；

(2)当时，曲线与直线交于，一点，求证：；

(3)证明：（，）.

【变式1】（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知函数.

(1)讨论

的单调性；

(2)当，时，证明：；

(3)证明：.

【变式2】（2023·四川自贡·统考三模）已知函数（e为自然对数底数）．

(1)判断，的单调性并说明理由；

(2)证明：对，．

题型02不等式的恒成立与能成立问题

考向一不等式的恒成立问题

【典例6】（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)若，求实数m的取值范围．

【变式1】（24-25高二上·山西·期末）已知函数在上没有极值.

(1)求实数的取值范围；

(2)若对恒成立，求实数的取值范围.

【变式2】（24-25高二上·上海闵行·期末）已知函数.

(1)曲线在点处的切线过点，求的值；

(2)求函数的单调区间；

(3)若不等式恒成立，求整数的最小值.

【变式3】（24-25高二上·陕西西安·期末