(人教B版)2025秋高中数学选择性必修三同步讲义第6章第01讲导数的概念及几何意义(学生版+解析).docxVIP

第01讲导数的概念及几何意义

课程标准

学习目标

1.通过具体实例了解函数的平均变化率．

2.通过对实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景.

3.理解导数的概念，会利用导数的定义求函数在某点处的导数.

4.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.

1．求函数的平均变化率，了解平均变化率在实际问题中的应用.

2．通过本节课的学习，要求会求函数的平均变化率与瞬时变化率.

3．掌握导数的概念以及几何意义，会处理曲线的切线问题.

知识点01函数的平均变化率

1．函数的平均变化率的概念

一般地，若函数y＝f(x)的定义域为D，且x1，x2∈D，x1≠x2，y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，则

(1)自变量的改变量Δx＝x2－x1；

(2)因变量的改变量Δy＝y2－y1；

(3)f(x)在[x1，x2]上的平均变化率为eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(y2－y1,x2－x1).

【解读】(1)求函数在指定区间上的平均变化率应注意的问题

①平均变化率的公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间两端点间的自变量的差．

②平均变化率的公式中，分子、分母中被减数同为右端点，减数同为左端点．

(2)一次函数的平均变化率

一次函数y＝kx＋b(k≠0)在区间[m，n]上的平均变化率为eq\f(f?n?－f?m?,n－m)＝eq\f(?kn＋b?－?km＋b?,n－m)＝k.由上述计算可知，一次函数y＝kx＋b在区间[m，n]上的平均变化率与m，n的值无关，只与一次项系数有关，且其平均变化率等于一次项的系数．

2．平均变化率的实际意义

在以x1，x2为端点的闭区间上，自变量每增减1个单位，因变量平均将增减eq\f(Δy,Δx)个单位．因此，如果自变量增减h个单位，那么因变量将增减eq\f(Δy,Δx)h个单位．

3．平均变化率的几何意义

eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f?x2?－f?x1?,x2－x1)表示函数y＝f(x)图象上过一点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))的割线的斜率．

4．平均速度与平均变化率

如果物体运动的位移xm与地址ts的关系为x＝h(t)，则物体在[t1，t2](t1t2时)或[t2，t1](t2＜t1时)这段地址内的平均速度为eq\f(h?t2?－h?t1?,t2－t1)(m/s)．即物体在某段地址内的平均速度等于x＝h(t)在该段地址内的平均变化率．

【即学即练1】（24-25高二下·全国·课后作业）一质点按运动方程（s的单位为米，t的单位为秒）做直线运动，则其从秒到秒这段地址里的平均速度（单位：米/秒）为（????）

A． B． C． D．

知识点02函数在某点处的导数

1．瞬时变化率

一般地，设函数y＝f(x)在x0附近有定义，自变量在x＝x0处的改变量为Δx，当Δx无限接近于0时，若平均变化率eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx)无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率．

2．函数f(x)在x＝x0处的导数

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，也称f(x)在x0处可导，并称k为f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)＝k.

(2)“当Δx无限接近于0时，eq\f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx)无限接近于常数k”也常用符号“→”(读作“趋向于”)表示为当Δx→0时，eq\f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx)→k，或者写成eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx)＝k，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx).

【即学即练2】

1.（24-25高二上·全国·课后作业）若某气球起始时半径为2cm，之后以1cm/s的速度膨胀，则在第3s时，该气球表面积的增长速度为（????）

A． B． C． D．

2.（24-25高三上·上海·期中）已知是定义在上的可导函数，若，则.

知识点03导数的几何意义

1．导数的几何意义

如果将函数y＝f(x)的图象看成曲线(称为曲线y＝f(x))，而且曲线在点A(x0，f(x0))处的切线为l，则|Δx|很小时，B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))是A附近的一点，割线AB的斜率是eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx)，则当Δx无限接近于0时，割线的斜率将无限趋近于切线l的斜率．

这就是说，f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处(也称在x＝x0处)的切线的斜率，从而根据直线的点斜式方程可知，切线的方程是y