(人教B版)2025秋高中数学选择性必修三同步讲义第5章第07讲数列的应用(学生版+解析).docxVIP

第07讲数列的应用

课程标准

学习目标

1.理解并掌握“等额本金还款法”、“等额本息还款法”及应用；

2.理解并掌握政府支出的“除数”效应及数列的其他应用；

1.掌握等差数列、等比数列的性质，熟记通项公式与求和公式；

2.能用数列知识求解分歧还款、政府支的“除数”效应以及其他的实际问题；

3.进一步提升数学建模、逻辑推理与数学运算的核心素养。

知识点01分期还款

1.等额本金还款法

将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差除以利率，一次这种方式中，每期还款金额=

2.等额本息还款法

将本金和利息平均分配到每一期进行偿还，因此每一次还钱数相等，即，每期还款金额=，其中为贷款时的资金，为银行贷款月利率，为还款总期数（单位：月）

【即学即练1】（24-25高一上学期课时作业）某企业在2024年年初贷款M万元，年利率为m，从该年年末开始，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则a的值为（????）

A． B． C． D．

知识点02政府支出的“除数”效应

1.政府支出的“除数”效应定义

为落实惠民政策，假设正负增减某项支出为亿元，每个受惠的居民会将额外收入以的比率用于国内消费（最初政府支出也算是国内消费）。如果设第轮消费的金额为亿元，那么，经过轮影响之后，最后的国内消费总额是。最后的国内消费总额将会是亿元的倍数，也就是说有了“除数”效应。

2.有关概念的理解

（1）“除数”效应

=1\*GB3①“除数”效应是一种宏观的经济效应，是指经济活动中某一变量的增减所引起的经济总量变化的连锁反应程度；

=2\*GB3②财政政策除数是研究财政收支变化对过国民经济的影响，其中包括财政支出除数、税收除数和平衡预算除数；

政府支出：政府的财政支出（把政府消费支出和政府投资支出）是一种与居民投资十分类似的高效能支出，政府在商品和服务商的一项采购，将会引发一系列的再支出。因此任何一届政府在选择经济政策时，究竟是采取扩张性政策还是收缩性政策，在采取动作前必须知道实际的除数究竟有多大，否则将会对国民经济造成极大的伤害。

【即学即练2】（24-25高二上·全国·单元测试）某工厂2024年1月的生产总值为万元，计划从2024年2月起，每月生产总值比上一个月增长，则到2025年8月底该厂的生产总值为万元.

题型01分期付款问题

【典例1】（23-24高二下·河南南阳·期中）刚考入大学的小明准备向银行贷款a元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款．小明与银行约定：每个月月末还一次款，分12次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为t．则小明每个月所要还款的钱数为（????）元．

A．B．C．D．

【变式1】（23-24高二下·河南驻马店·期中）某医院购买一台大型医疗机器价格为万元，实行分期付款，每期付款万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为，每月复利一次，则，满足（????）

A． B．

C． D．

【变式2】（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）李华准备通过某银行贷款8800元，后通过分期付款的方式还款，银行与李华约定：每个月还款一次，分12次还清所有欠款，且每个月的还款额都相等，贷款的月利率为，则李华每个月的还款额为（????）（精确到0.01元，参考数据）

A．733.21元 B．457.37元 C．790.33元 D．770.66元

【变式3】（23-24高二下·江西赣州·阶段练习）某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是，并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款（????）

A．元 B．元 C．元 D．元

【变式4】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）.有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差除以利率；等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算.下列说法错误的是（????）

A．等额本金方案，所有的利息和为2340元

B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元

C．等额本息方案，每月还款金额中的本金部分呈现递增等比数列

D．等额本金方案比等额本息方案还款利息更少，所以等额本金方案优于等额本息方案

题型02产