(人教B版)2025秋高中数学选择性必修三同步讲义第6章拓展提升02隐零点与极值点偏移问题(4大热点题型+精讲精练)(学生版+解析).docxVIP

拓展提升02隐零点与极值点偏移问题

题型01隐零点问题

解题锦囊

隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我们只能得到存在性之后去估计大致的范围（数值计算不再考察之列）.

基本步骤：

第1步:用零点存在性定理判定导函数零点的存在性,列出零点方程,并结合的单调性得到零点的范围;

第2步:以零点为分界点,说明导函数的正负,进而得到的最值表达式;

第3步:将零点方程适当变形,整体代入最值式子进行化简:

（1）要么消除最值式中的指对项

（2）要么消除其中的参数项;

从而得到最值式的估计.

考向一不等式的证明

【典例1】（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知函数（且）．

(1)讨论函数的单调区间；

(2)当时，证明：．

【变式1】（23-24高二下·河南洛阳·期中）给定函数.

(1)判断函数的单调性，并求出函数的极值;

(2)证明:当时，.

【变式2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数.

(1)若，求的取值范围；

(2)当时，证明：.

【变式3】已知函数

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）若a＝1，证明

【变式4】（2024·山东威海·二模）已知函数．

(1)求的极值；

(2)证明：．

考向二求参数范围

【典例2】（2020·新Ⅰ卷·统考高考真题第21题）已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．

【变式1】已知函数，当且时,不等式在上恒成立,求的最小值.

【变式2】已知函数对任意的恒成立,其中实数,求的取值范围.

【变式3】（2024·湖南邵阳·三模）已知函数

(1)若，求的单调区间.

(2)若对，恒成立，求实数的取值范围

考向三零点、极值点问题

【典例3】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数，若的最小值为0，

(1)求的值;

(2)若，证明:存在唯一的极大值点，且.

【变式1】（2024·山东·模拟预测）已知函数，则使有零点的一个充分条件是（????）

A． B． C． D．

【变式2】（23-24高三下·广东韶关·期末）已知函数，若有两个零点，则a的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【变式3】（2024·辽宁·模拟预测）已知函数.

(1)求在区间内的极大值；

(2)令函数，当时，证明：在区间内有且仅有两个零点．

【变式4】（2024·江西新余·模拟预测）已知函数.

(1)若，求在处的切线方程.

(2)讨论的单调性.

(3)求证：若，有且仅有一个零点.

题型02极值点偏移问题

【典例4】（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数.

(1)当时，求曲线在处的切线方程；

(2)若有两个零点，且，证明：.

【变式1】（23-24高三上·山东淄博·期末）已知函数，，则下列说法错误的是（????）

A．函数与函数有相同的极小值

B．若方程有唯一实根，则a的取值范围为

C．若方程有两个不同的实根，则

D．当时，若，则成立

【变式2】已知函数有两个零点、，则下列说法错误的是（????）．

A． B． C． D．

【变式3】（2024高二上·全国·专题练习）已知函数，直线是曲线的一条切线．

(1)求的值，并讨论函数的单调性；

(2)若，其中，证明：．

【变式4】（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知函数.

(1)若，当与的极小值之和为0时，求正实数的值；

(2)若，求证：.

【变式5】24-25高三上·湖南·阶段练习）已知函数，.

(1)若，求曲线在点处的切线方程.

(2)若有两个极值点，．

（i）证明：；

（ii）证明：.

【变式6】（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知函数，其中为自然对数的底数．

(1)当时，求的单调区间；

(2)若方程有两个不同的根．

（i）求的取值范围；

（ii）证明：．

【变式7】（23-24高二下·江苏苏州·期末）已知函数．

(1)求曲线在处的切线方程；

(2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的最小值；

(3)若关于的方程有两个实根，，求证：．

拓展提升02隐零点与极值点偏移问题

题型01隐零点问题

解题锦囊

隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我们只能得到存在性之后去估计大致的范围（数值计算不再考察之列）.

基本步骤：

第1步:用零点存在性定理判定导函数零点的存在性,列出零点方程,并结合的单调性得到零点的范围;

第2步:以零点为分界点,说明导函数的正负,进而得到的最值表达式;

第3步:将零点方程适当变形,整体代入最值式子进行化简:

（1）要么消除最值式中的指对项

（2）要么消除其中的参数项