2026高一数学同步4.5.3 函数模型的应用（教学设计）数学人教A版2019必修第一册.docxVIP

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好好学习

4.5函数的应用（二）4.5.3函数模型的应用

教学设计

教学内容

本节课是人教A版2019必修第一册第四章“函数的应用（二）”中4.5.3节“函数模型的应用”。内容包括常见函数模型（一次函数、二次函数、指数型、对数型、幂函数型）的识别与应用，建立函数模型解决实际问题的基本步骤，以及通过实例（人口增长、投资方案、奖励机制等）体会不同模型的适用场景。

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》的第五章的4.5.3函数模型的应用。函数模型及其应用是中学重要内容之一，又是数学与生活实践相互衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数模型的应用实质是揭示了客观世界中量的相互依存有互有制约的关系，因而函数模型的应用举例有着不可替代的重要位置，又有重要的现实意义。

本节课要求学生利用给定的函数模型或建立函数模型解决实际问题，并对给定的函数模型进行简单的分析评价,发展学生数学建模、数学直观、数学抽象、逻辑推理的核心素养。

内容解析

函数模型的应用是函数知识的综合实践，核心是“用数学解决实际问题”，体现数学建模思想：

常见模型及其适用场景：

一次函数模型（f(

指数型函数模型（f(x)=

对数型函数模型（f(

二次函数模型（f(

建模步骤：审题→抽象变量→选择模型→确定参数→求解验证→解释实际意义，其中“模型选择”是关键，需结合数据特征（散点图、增长趋势）判断。

模型验证：通过实际数据检验模型的合理性，若偏差较大需调整模型（如人口模型因政策调整需修正）。

教学目标

(1)能识别常见函数模型（一次、二次、指数型、对数型）的特征，说出其适用场景。

(2)能按“审题→建模→求解→验证”步骤建立函数模型解决实际问题（如人口预测、投资决策）。

(3)能通过散点图或数据趋势选择合适模型，并用计算工具求解参数，验证模型合理性。

(4)体会数学建模的严谨性，发展数据分析和数学建模素养。

目标解析

(1)学生能举例说明：人口增长用指数模型，学习时间与掌握程度用对数模型，利润最大化用二次函数模型。

(2)学生能解决“投资方案选择”问题：通过建立三种方案的函数模型（常数函数、一次函数、指数函数），计算累计回报并选择最优方案。

(3)学生能根据碳14衰减数据，建立指数模型y=

达成上述目标的标志是：

学生已掌握基本函数的图象和性质，但对“如何将实际问题转化为函数模型”缺乏经验，易忽略变量的实际意义（如定义域限制）。

学生在模型选择时易盲目套用公式，缺乏对数据趋势的分析（如误将指数增长用一次函数建模），需通过散点图辅助判断。

对模型结果的验证意识薄弱，需通过实例（如马尔萨斯人口模型与实际人口的偏差）强调验证的必要性。

高一（下）学生已学完基本初等函数，具备一定抽象与计算能力；生活经验中对“复利、人口增长、冷却”等现象有直观感受，但缺少用函数语言形式化描述的经验；已具备：学生已掌握基本初等函数的性质，能绘制函数图像。易困惑：混淆“指数增长”与“线性增长”的适用场景；忽略模型的前提条件（如“无政策干预”）。突破策略：用“纸对折超月球”的直观例子强化指数爆炸认知，用“计划生育”案例讨论模型局限性。

基于以上分析，确定本节课的教学重点:1.识别不同函数模型的特征，根据实际问题选择合适模型;2.掌握建立函数模型解决实际问题的步骤（审题→建模→求解→验证）。教学难点：1.从实际问题中抽象出变量关系，确定函数模型的类型;2.模型参数的确定及结果的实际意义解释（如增长率、衰减率的合理性）。

导入1：奶茶店的“甜蜜陷阱”

【情境】某奶茶店推出“第二杯半价”活动，小明发现：买1杯花15元，买2杯花22.5元，买3杯花30元……他惊呼：“买得越多越划算！”

【追问】“划算”的规律是线性的吗？若每天销量翻倍，5天后日收入会爆炸式增长吗？

【设计意图】用消费场景引出“线性vs指数”的认知冲突，暗示模型选择的重要性。

【教学建议】让学生计算前5天的收入，对比线性模型（y=15x）与指数模型（y=15×2??1）的差异。

导入2：考古学家的“穿越密码”

【情境】展示良渚古城碳14检测报告：“草茎遗存碳14剩余量55.2%”。

【追问】如何从55.2%推断出“公元前2902年”？这里藏着什么数学秘密？

【设计意图】以考古悬念激发兴趣，自然过渡到指数衰减模型。

【教学建议】让学生猜测“半衰期”的含义，再揭示数学模型（y=0.5^(t/5730)）。

问题串引入：

展示三组数据：

①某工厂月产量：100,200,300,400...（均匀增长）；

②某病毒感染人数：1,2,4,8,16...（快速增长）；

③某学生单词记忆量：5,8,10,11,12...（增长趋缓）。

提问：“分别适合用什