2026高一数学同步4.5.1 函数的零点与方程的解（教学设计）数学人教A版2019必修第一册.docxVIP

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好好学习

4.5函数的应用（二）4.5.1函数的零点与方程的解

教学设计

教学内容

本节课是人教A版2019必修第一册第四章“函数的应用（二）”中4.5.1节“函数的零点与方程的解”。内容包括函数零点的概念、函数零点与方程解的关系、函数零点存在定理，以及利用这些知识判断函数零点的存在性和个数。

内容解析

函数的零点是连接函数与方程的桥梁，是用函数思想解决方程问题的关键。

函数零点的概念：使f(x)=0的实数x称为函数

三者关系：方程f(x)=0的实数解?函数y=f(

零点存在定理：若函数y=f(x)在区间[

教学目标

本节主要内容是函数零点的概念,函数零点与相应方程根的关系,函数零点存在定理.本节课是为“用二分法求方程的近似解”打基础,函数零点的概念与函数零点存在定理是二分法的必备知识.

方程与函数的关系从来是重要且无法回避的,所以将本节内容直接编入教材很有必要,本节课不仅为二分法的学习做准备,而且为方程与函数提供了零点这个连接点,从而揭示了两者之间的本质联系,这种联系正是“函数与方程思想”的理论基础.用函数的观点研究方程,本质上就是将局部的问题放在整体中研究,将静态的结果放在动态的过程中研究,这为今后进一步学习函数与不等式等其他知识的联系奠定了坚实的基础.

从研究方法而言,函数零点概念的形成和函数零点存在定理的发现,符合从特殊到一般的认识规律,有利于培养学生的概括归纳能力,也为数形结合思想提供了广阔的平台.

目标解析

(1)学生能举例说明：对于方程x2-3x+2=0，其解为x=1和x=2，对应函数

(2)学生能运用定理判断：函数f(x)=lnx+2x

(3)学生能判断：函数f(x)=2x-x-1

达成上述目标的标志是：

能用自己的话举例说明“零点不是点而是横坐标”；

对给定函数，能独立写出对应方程并说明二者根/零点关系；

在图象或数值表支持下，对连续函数若f(a)·f(b)0，能断言(a,b)内必有零点；

面对“判断零点个数”问题，能主动说出“先看存在性，再看单调性”的思路。

通过前面的学习,学生已经了解一些基本初等函数的模型,具备一定的看图识图能力,这为本节课利用函数图象判断方程根的存在性提供了一定的知识基础.方程是初中数学的重要内容,用所学的函数知识解决方程问题,扩充方程的种类,这是学生乐于接受的.

高一学生在函数的学习中,常表现出不适,主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任,具体表现为将函数孤立起来,认识不到函数在高中数学中的核心地位.例如一元二次方程根的分布问题,学生自然会想到韦达定理,而不是想到二次函数的图象与方程的根之间的联系.函数应用意识的初步树立,就成了本节课必须承载的任务.

从方程根的角度理解函数的零点,学生并不会觉得困难,而用函数来确定方程根的个数和大致范围,则需要适应.换而言之,函数零点存在定理的获得与应用,必须让学生从一定量的具体案例中操作感知,通过更多的举例来验证.

基于以上分析，确定本节课的教学重点：1.理解函数零点的概念,掌握函数零点与相应方程根的求法.2.掌握函数零点存在定理并能应用.教学难点：1.会判断函数零点所在的区间及函数零点的个数．2.函数零点存在定理的理解.

知识点一函数零点的概念

对于一般函数y＝f(x)，我们把eq\o(□,\s\up1(01))使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

函数y＝f(x)的eq\o(□,\s\up1(02))零点就是方程f(x)＝0的实数解，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的公共点的eq\o(□,\s\up1(03))横坐标．

[点拨](1)函数的零点是实数而不是点．如函数f(x)＝x＋1的零点是－1，而不是(－1，0)．

(2)并不是所有的函数都有零点，如函数f(x)＝eq\f(1,x)，y＝x2＋1均没有零点．

(3)若函数有零点，则零点一定在函数的定义域内．

知识点二方程的解与函数零点的关系

方程f(x)＝0有实数解?函数y＝f(x)eq\o(□,\s\up1(01))有零点?函数y＝f(x)的图象与x轴eq\o(□,\s\up1(02))有公共点．

知识点三函数零点存在定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条eq\o(□,\s\up1(01))连续不断的曲线，且有eq\o(□,\s\up1(02))f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内eq\o(□,\s\up1(03))至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得eq\o(□,\s\up1(04))f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．

[点拨