2026高一数学同步4.5.2 用二分法求方程的近似解（导学案）（原卷版） 数学人教A版2019必修第一册 .docxVIP

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好好学习

4.5.2用二分法求方程的近似解导学案

理解二分法的定义与适用条件（函数连续、端点异号）。

掌握二分法操作步骤，能独立绘制程序框图并借助计算器求解。

应用二分法解决实际问题（如猜价格、电路检测），感悟数学建模思想。

发展核心素养：数学抽象（算法概括）、逻辑推理（区间收缩）、数学建模（实际问题转化）。

教学重点：掌握用二分法求方程近似解的思路与步骤.

教学难点：方程近似解所在初始区间的确定，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．

知识点一二分法的概念

对于在区间[a，b]上图象且的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

知识点二用二分法求函数零点近似值的步骤

给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：

(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证．

(2)求区间(a，b)的．

(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：

①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；

②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈，则令b＝c；

③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈，则令a＝c.

(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．

[想一想]为什么当|a－b|ε时，可将a或b的值看成函数零点的近似值？

导入1：手机猜价格游戏

【情境】教师展示一部神秘手机，提示价格区间2000-3000元，学生需在6次提问内猜出误差不超过50元的价格。

【问题】如何提问才能最快锁定价格？

导入2：水管漏水检测

【情境】家中水管从入口到水龙头有10米，发现漏水但不知具体位置。

【问题】如何用最少的检测次数定位1米内的漏水点？

同学们，前几天有个同事买了一部手机，为了游戏更有趣，暂且不告诉大家是什么牌子的手机，我可以告诉大家这部手机的价位在2000元～3000元，如果给大家6次猜价的机会，我只能告诉大家猜的价格比真实值多或少，大家能否猜出与手机真实价钱的误差在50元以内的价钱？注意啊，你的机会只有5次！接下来，让我们一起探究解决这个问题的方法吧．

我们已经知道，函数在区间内存在一个零点．进一步的问题是，如何求出这个零点呢？

一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值．为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围．

取区间的中点2.5，用计算工具算得．因为，所以零点在区间内．

再取区间的中点2.75，用计算工具算得．因为，所以零点在区间内．

大多数方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解．在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解．

一般地，称为区间的中点．

由于，所以零点所在的范围变小了．如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小（如表4.5-2和图4.5-3）．这样，我们就可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满足一定精确度的区间，区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值．为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值．

零点所在区间

中点的值

中点函数近似值

2.5

-0.084

2.75

0.512

2.625

0.215

2.5625

0.066

2.53125

-0.009

2.546875

0.029

2.5390625

0.010

20.001

例如，当精确度为0.01时，因为，所以区间

内任意一点都可以作为零点的近似值，也可以将作为函数零点的近似值，也即方程的近似解．

对于在区间上图象连续不断且f(a)f(b)0的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）．

给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下：

1．确定零点的初始区间，验证．

2．求区间的中点．

3．计算，并进一步确定零点所在的区间：

（1）若（此时），则就是函数的零点；

（2）若（此时），则令；

（3）若（此时），则令．

4．判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复步骤2~4．

由函数零点与相应方程解的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．

为了刻画与准确值的接近程度，这里给出了精确度，由可知，区间中任意一个值都是零点满足精确度的近似值（想一想，为什么）．

例2借助信息技术，用二分法求方程的近似解（精确度为0.1）．

由例2可见，用二分法求方程的近似解，计算量较大，而且是重复相同