2026高一数学同步4.2.2 指数函数的图象和性质 （第1课时）（导学案）（解析版） 数学人教A版2019必修第一册 .docxVIP

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好好学习

4.2.2指数函数的图象和性质（第1课时）导学案

(1)会用描点法绘制指数函数y=ax（a

(2)掌握指数函数的性质（定义域、值域、单调性、过定点(0,1)），能区分a1和0

(3)能运用指数函数的图象和性质解决简单问题（如比较大小、求值域、判断过定点）。

(4)体会数形结合思想在研究函数性质中的作用，发展直观想象和逻辑推理素养。

教学重点：指数函数y=ax（a0且a

教学难点：理解底数a对指数函数图象和性质的影响（如a1时底数越大图象越陡，0a1

知识点一指数函数的图象和性质

a1

0a1

图象

性质

定义域

eq\x(\s\up1(01))R

值域

eq\x(\s\up1(02))(0，＋∞)

过定点

过定点eq\x(\s\up1(03))(0，1)，即x＝eq\x(\s\up1(04))0时，y＝eq\x(\s\up1(05))1

函数值

的变化

当x0时，eq\x(\s\up1(06))y1；

当x0时，eq\x(\s\up1(07))0y1

当x0时，eq\x(\s\up1(08))0y1；

当x0时，eq\x(\s\up1(09))y1

单调性

是R上的增函数

是R上的减函数

对称性

y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称

[点拨](1)函数图象只出现在x轴上方．

(2)当a1时，x→－∞，y→0；当0a1时，x→＋∞，y→0.

(3)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．

知识点二不同底指数函数图象的相对位置

指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0cd1ab.

在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由eq\x(\s\up1(01))大变eq\x(\s\up1(02))小；

在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由eq\x(\s\up1(03))大变eq\x(\s\up1(04))小．

即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向递增．

[点拨]指数函数的底数即直线x＝1与图象交点的纵坐标，由此可求出指数函数底数的大小．

导入新知

导入A：手机电量衰减问题

【情境】“同学们，你们的手机电量从100%用到50%，所用时间与从50%用到25%一样吗？”

【追问】“若电量每天剩余比例相同，这种衰减规律用怎样的函数刻画？它的图象长什么样？”

【设计意图】以真实场景激活指数增长/衰减体验，引出“指数函数”研究需求。

【教学建议】让学生先猜一猜图象形状，再验证，制造认知冲突。

导入B：疫情传播模型

【情境】“假设某病毒每2天传播人数翻倍，最初1人感染，x天后感染人数y=2^x。这个函数的图象如何？能否预测第10天人数？”

【设计意图】渗透数学建模思想，凸显函数图象的预测价值。

【教学建议】用GeoGebra现场输入y=2^x，放大图象观察爆炸式增长，激发探究欲。

探究点1：指数函数的图象

请同学们回顾指数函数的定义和指数函数的解析式的特征．一般来说，函数的图象与性质紧密联系，图象可反映函数的性质，所以我们今天类比研究幂函数的图象和性质的过程和方法，进一步研究指数函数．

首先画出指数函数的图象，然后借助图象研究指数函数的性质．

先从简单的函数开始．

请同学们完成，的对应值表4.2-2，并用描点法画出函数的图象（图4.2-4）．

表4.2-2

x

y

-2

-1.5

0.35

-1

-0.5

0.71

0

0.5

1.41

1

1.5

2.83

2

探究点2：归纳指数函数的性质

为了得到指数函数（，且）的性质，我们还需要画出更多的具体指数函数的图象进行观察．

探究

画出函数的图象，并与函数的图象进行比较，它们有什么关系？能否利用函数的图象，画出函数的图象？

因为，点与点关于轴对称，所以函数图象上任意一点关于轴的对称点都在函数的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于轴对称．根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象，比如利用函数的图象，画出的图象（图4.2-5）．

探究

选取底数，且的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出指数函数，且的值域和性质吗？

如图4.2-6，选取底数的若干值，用信息技术画图，发现指数函数的图象按底数的取值，可分为和两种类型．因此，指数函数的性质也可以分和两种情况进行研究．

一般地，指数函数的图象和性质如表4.2-3所示．

a1

0a1

图象

性质

定义域

eq\x(\s\up1(01))R

值域

eq\x(\s\up1(02))(0，＋∞)

过定点

过定点eq