2026高一数学同步4.1.1 n次方根与分数指数幂（导学案）（原卷版）数学人教A版2019必修第一册 .docxVIP

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好好学习

4.1.1n次方根与分数指数幂

导学案

通过具体实例抽象出n次方根的概念，能区分奇次根式与偶次根式，掌握根式的运算性质，能正确化简na

理解分数指数幂的含义，能熟练进行根式与分数指数幂的互化。

掌握有理数指数幂的运算性质，能运用性质进行化简和求值。

经历从整数指数幂到分数指数幂的拓展过程，体会数学概念的推广思想，发展数学抽象和逻辑推理素养。

教学重点：

1.根式的定义和性质.

2.根式与分数指数幂的联系.

3.正分数指数幂与负分数指数幂的联系；

教学难点：

1.指数幂的含义及其与根式的互化.

2.eq\r(n,an)与(eq\r(n,a))n的区别与联系．

3.能利用根式的性质对根式进行运算.

知识点一根式的定义

(1)a的n次方根的定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做，其中n＞1，且n∈N＋.

(2)a的n次方根的表示

①当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．a的n次方根用符号表示；

②当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．正数a的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成；

③负数偶次方根；

④0的任何次方根都是，记作．

(3)根式：式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做，a叫做．

知识点二根式的性质

当n1，且n∈N＋时，

(1)根据n次方根的意义，可得(eq\r(n,a))n＝．

(2)当n为奇数时，eq\r(n,an)＝；

当n为偶数时，eq\r(n,an)＝＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a＜0))．

[点拨]eq\r(n,an)与(eq\r(n,a))n的区别

(1)eq\r(n,an)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制．

(2)(eq\r(n,a))n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值范围由n的奇偶决定．当n为大于1的偶数时，(eq\r(n,a))n＝a，a≥0；当n为大于1的奇数时，(eq\r(n,a))n＝a，a∈R.只要(eq\r(n,a))n有意义，其结果恒等于a.

知识点三分数指数幂的意义

(1)aeq\s\up6(\f(m,n))＝(a0，m，n∈N＋，n1)，

a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝(a0，m，n∈N＋，n1)．

(2)0的正分数指数幂等于，0的负分数指数幂．

[想一想]分数指数幂中，为什么规定a0?

提示：当a＝0时，a0及a的负分数指数幂没有意义；当a0时，若n为偶数，m为奇数，则aeq\s\up6(\f(m,n))，a－eq\f(m,n)无意义．因此规定a0就省去了不必要的讨论，便于学习和应用．

[点拨](1)分数指数幂aeq\s\up6(\f(m,n))不可理解为eq\f(m,n)个a相乘．

(2)把根式eq\r(n,am)化成分数指数幂的形式时，不要轻易对eq\f(m,n)进行约分．

(3)正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数．

知识点四有理数指数幂的运算性质

(1)aras＝(a0，r，s∈Q)．

(2)(ar)s＝(a0，r，s∈Q)．

(3)(ab)r＝(a0，b0，r∈Q)．

[拓展](1)eq\f(ar,as)＝ar－s(a0，r，s∈Q)．

(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(r)＝eq\f(ar,br)(a0，b0，r∈Q)．

情景一：面团发酵的“体积翻倍”时间计算

面包店师傅制作面包时，需要先将面团发酵。已知面团初始体积为1立方分米，发酵过程中，体积每小时会变为原来的2倍（2≈1.414）。

师傅想知道：1.2小时后面团体积是多少？学生可通过“1×2×2=1×(2)2=2”算出体积为2立方分米，这里能联系到“平方根的平方等于被开方数”的旧知；

2.若想让面团体积达到4立方分米，需要发酵几小时？学生易算出“(2)^x=4”，进而得出x=4，但师傅又追问：“如果想让体积达到3立方分米，