2026高一数学同步4.1.1 n次方根与分数指数幂（导学案）（解析版） 数学人教A版2019必修第一册 .docxVIP

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好好学习

4.1.1n次方根与分数指数幂

导学案

通过具体实例抽象出n次方根的概念，能区分奇次根式与偶次根式，掌握根式的运算性质，能正确化简na

理解分数指数幂的含义，能熟练进行根式与分数指数幂的互化。

掌握有理数指数幂的运算性质，能运用性质进行化简和求值。

经历从整数指数幂到分数指数幂的拓展过程，体会数学概念的推广思想，发展数学抽象和逻辑推理素养。

教学重点：

1.根式的定义和性质.

2.根式与分数指数幂的联系.

3.正分数指数幂与负分数指数幂的联系；

教学难点：

1.指数幂的含义及其与根式的互化.

2.eq\r(n,an)与(eq\r(n,a))n的区别与联系．

3.能利用根式的性质对根式进行运算.

知识点一根式的定义

(1)a的n次方根的定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做eq\x(\s\up1(01))a的n次方根，其中n＞1，且n∈N＋.

(2)a的n次方根的表示

①当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．a的n次方根用符号eq\x(\s\up1(02))eq\r(n,a)表示；

②当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．正数a的正的n次方根用符号eq\x(\s\up1(03))eq\r(n,a)表示，负的n次方根用符号eq\x(\s\up1(04))－eq\r(n,a)表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成eq\x(\s\up1(05))±eq\r(n,a)(a0)；

③负数eq\x(\s\up1(06))没有偶次方根；

④0的任何次方根都是eq\x(\s\up1(07))0，记作eq\x(\s\up1(08))eq\r(n,0)＝0．

(3)根式：式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做eq\x(\s\up1(09))根指数，a叫做eq\x(\s\up1(10))被开方数．

知识点二根式的性质

当n1，且n∈N＋时，

(1)根据n次方根的意义，可得(eq\r(n,a))n＝eq\x(\s\up1(01))a．

(2)当n为奇数时，eq\r(n,an)＝eq\x(\s\up1(02))a；

当n为偶数时，eq\r(n,an)＝eq\x(\s\up1(03))|a|＝eq\x(\s\up1(04))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a＜0))．

[点拨]eq\r(n,an)与(eq\r(n,a))n的区别

(1)eq\r(n,an)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制．

(2)(eq\r(n,a))n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值范围由n的奇偶决定．当n为大于1的偶数时，(eq\r(n,a))n＝a，a≥0；当n为大于1的奇数时，(eq\r(n,a))n＝a，a∈R.只要(eq\r(n,a))n有意义，其结果恒等于a.

知识点三分数指数幂的意义

(1)aeq\s\up6(\f(m,n))＝eq\x(\s\up1(01))eq\r(n,am)(a0，m，n∈N＋，n1)，

a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq\x(\s\up1(02))eq\f(1,\r(n,am))(a0，m，n∈N＋，n1)．

(2)0的正分数指数幂等于eq\x(\s\up1(03))0，0的负分数指数幂eq\x(\s\up1(04))没有意义．

[想一想]分数指数幂中，为什么规定a0?

提示：当a＝0时，a0及a的负分数指数幂没有意义；当a0时，若n为偶数，m为奇数，则aeq\s\up6(\f(m,n))，a－eq\f(m,n)无意义．因此规定a0就省去了不必要的讨论，便于学习和应用．

[点拨](1)分数指数幂aeq\s\up6(\f(m,n))不可理解为eq\f(m,n)个a相乘．

(2)把根式eq\r(n,am)化成分数指数幂的形式时，不要轻易对eq\f(m,n)进行约分．

(3)正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数．

知识点四有理数指数幂的运算性质

(1)aras＝eq\x(\s\up1(01))ar＋s(a0，r，s∈Q)．

(2)(ar)s＝eq\x(\s\up1(02))ars(a0，r，s∈Q)．

(3)(ab)r＝eq\x(\s\up1(03))arbr(a0，b0，r∈Q)．

[拓展](1)eq\f(ar,as)＝ar－s(a0，r，s∈Q)．

(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(r)＝eq\f(ar,br)(a0，b0，r∈Q)