2026高一数学同步4.3 4.3.1 对数的概念（导学案）（原卷版） 数学人教A版2019必修第一册 .docxVIP

PAGE

PAGE1

好好学习

4.34.3.1对数的概念导学案

(1)通过实际问题（如指数方程求解）抽象出对数的概念，能准确表述对数的定义及相关术语（底数、真数）。

(2)掌握指数式与对数式的互化方法，能熟练将ax=N

(3)理解并能应用对数的基本性质（如loga1=0、

(4)了解常用对数（lgN）和自然对数（ln

教学重点：1.对数的概念.2.指数式与对数式的互化.3.对数的简单性质．

教学难点：1.对数概念的理解.2.指数式与对数式之间的转化．

知识点一对数的概念

(1)对数的概念：一般地，如果(a0，且a≠1)，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数．

(2)两种特殊的对数

①常用对数：通常，我们将的对数叫做常用对数，并把log10N记为；

②自然对数：的对数称为自然对数，并把logeN记为(其中e＝2.71828…)．

(3)对数式与指数式的关系

知识点二对数的基本性质

(1)对数的性质

①没有对数，即真数N0；

②1的对数为，即loga1＝(a0，且a≠1)；

③底数的对数等于，即logaa＝a0，且a≠1)．

(2)两个重要的对数恒等式

①alogaN＝(a0，且a≠1，N0)；

②logaaN＝(a0，且a≠1)．

情景一：手机存储空间的“倍增”谜题

情景描述

小明刚买了一部新手机，初始可用存储空间为64GB。他发现自己每天使用手机时，存储的照片、视频和应用数据会以固定比例增加，经过计算，每30天手机的已用存储空间就会翻倍（即变为原来的2倍）。妈妈提醒小明：“当已用存储空间达到总容量的75%时，就需要清理文件了，否则手机会变卡顿。”已知手机总存储容量为128GB，请问从购买手机开始，经过多少天小明需要第一次清理手机存储？

问题拆解与启发

第一步：引导学生计算“需要清理时的已用存储容量”——总容量128GB的75%为96GB，初始已用存储可忽略（视为0），但初始可用64GB，实际需关注“已用存储从0增长到96GB”，且增长规律是“每30天翻倍”。

第二步：建立指数模型——设经过x个30天，已用存储容量为64×2^x（因初始可用64GB，当已用达到96GB时，可用存储为32GB，即64×(1/2)^x=32，简化为2^x=2，此处可根据学生基础调整模型表述，核心是引导学生写出指数式）。若直接以“每天的增长比例”建模，可设每天存储增长r，30天翻倍则(1+r)^30=2，求“当已用存储为96GB时的天数t”，即64×(1+r)^t=96，代入(1+r)=2^(1/30)，得到2^(t/30)=1.5。

第三步：引发认知冲突——提问学生“如何求出t的值？”，学生已学过指数运算（已知底数和指数求幂值），但此时需要“已知底数2和幂值1.5，求指数t/30”，现有知识无法解决，自然引出“需要一种新的运算来表示这种‘已知底数和幂值求指数’的问题’’，即对数。

情景二：家庭理财的“翻倍”时间计算

情景描述

爸爸为小丽开设了一个教育储蓄账户，初始存入1万元，选择的理财产品年利率为3.5%，且按复利计算（即每年的利息会加入本金，下一年一起计算利息）。爸爸告诉小丽：“当账户余额达到2万元时，就可以用这笔钱买你心仪的学习设备了。”小丽想知道，按照这个利率，至少需要存多少年，账户余额才能翻倍到2万元？（参考数据：1.035^20≈2.028，1.035^19≈1.959）

问题拆解与启发

第一步：回顾复利公式——引导学生回忆“复利计算中，n年后的本金和利息总和A=P(1+r)^n”，其中P是初始本金（1万元），r是年利率（3.5%=0.035），A是n年后的余额（2万元）。

第二步：建立指数方程——将已知条件代入公式，得到1×(1+0.035)^n=2，即1.035^n=2。

第三步：激发探究欲——提问学生“n的值是多少？”，学生尝试代入整数计算（如n=10时，1.03510≈1.411；n=15时，1.03515≈1.675），发现无法通过简单的整数尝试或已学指数运算求出精确的n，进而思考“有没有一种方法能直接表示出n的值？”，从而引出对数的概念，说明“n就是以1.035为底2的对数”。

探究点1：对数的定义

通过前面的学习，我们知道了“对数源出于指数”，然而对数的发明先于指数，对数的出现是基于当时天文、航海等发展的需要，大家知道，我国在探索太空、大洋等方面取得了很大的成就，比如2020年11月24日，我国成功发射嫦娥五号探测器，12月17日凌晨嫦娥五号携带月球