2026高一数学同步专题02 函数的单调性与最值（专项训练6大重点题型）（解析版）.docxVIP

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专题02函数的单调性与最值

目录

TOC\o1-2\h\uA题型建模?专项突破 1

题型一、定义法判断函数的单调性（重点） 1

题型二、求函数的单调区间 5

题型三、由函数的单调性求参数（难点） 8

题型四、函数的单调性应用Ⅰ：比较大小 12

题型五、函数的单调性应用Ⅱ：解不等式 13

题型六、函数的单调性应用Ⅲ：求最值（范围）（常考点） 17

B综合攻坚?能力跃升 21

题型一、定义法判断函数的单调性（重点）

1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，则下列说法中正确的是（????）

A．若满足，则在区间内单调递增

B．若满足，则在区间内单调递减

C．若在区间内单调递增，在区间内单调递增，则在区间内单调递增

D．若在区间内单调递增，在区间内单调递增，则在区间内单调递增

【答案】C

【分析】根据单调性的定义和性质逐项分析判断即可.

【详解】对于AB：函数满足，或，特值并不具有任意性，

所以区间端点值的大小关系并不能确定函数在区间上的单调性，故A，B错误；

对于C：区间和有交集，故函数在区间内单调递增，故C正确，

对于D：区间和没有交集，故不能确定函数在区间内的单调性.

例如在和上递增，但，故D错误．

故选：C.

2．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，则（????）

A．在区间上单调递增

B．在区间上单调递减

C．在区间上单调递增

D．在区间上单调递减

【答案】A

【分析】根据正比例函数、反比例函数的单调性，结合函数单调性的性质、定义逐一判断即可.

【详解】函数在区间上均单调递增，因此当时，单调递增，A正确，B错误；

令，任取，

则，

当时，，，故在区间内单调递减；

当时，，故在上单调递增，C错误，D错误．

故选：A

3．（23-24高一上·浙江宁波·期中）（多选题）函数在是减函数，且，则下列选项正确的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据函数单调性及，得到，进而判断出ABC正确，D错误.

【详解】AB选项，在是减函数，且，故，

，AB正确；

CD选项，因为，，所以，

，C正确，D错误.

故选：ABC

4．（多选题）下列函数中满足“对任意x1，x2∈（0，+∞），都有”的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据函数的单调性确定正确答案.

【详解】因为对任意x1，x2∈（0，+∞），都有，

所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，

A：根据反比例函数性质可知在（0，+∞）上单调递增，符合题意；

B：根据一次函数的性质可知，在（0，+∞）上单调递减，不符合题意；

C：根据二次函数的性质可知在（0，+∞）上单调递增，符合题意；

D：根据一次函数的性质可知，在（0，+∞）上单调递增，符合题意．

故选：ACD

三、解答题

5．证明：定义在R上的函数是增函数．

【答案】证明见解析

【分析】通过函数单调性的定义证明在R是增函数

【详解】证明：设和是任意两个实数，且，则

．

于是．

由函数单调性的定义可知，函数是R上的增函数．

6．（25-26高一上·全国·随堂练习）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义来证明.

【答案】在上是增函数，证明见解析

【分析】先利用特殊值法猜想的单调性，再利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证.

【详解】对于，

令，得，

故猜想在上是增函数，证明如下：

任取，且，

则，

因为，所以，，，

所以，即，

因此在上是增函数.

7．（23-24高一上·内蒙古赤峰·月考）已知函数，且，.

(1)求a和b的值；

(2)判断在上的单调性，并根据定义证明.

【答案】(1)

(2)在上的单调递减，证明见解析

【分析】（1）由，代入直接可求；

（2）根据函数单调性的定义证明单调性.

【详解】（1）因为，

所以，解得.

（2）由（1）知：，在上的单调递减，

证明如下：

在上任取，且，

，

∵，

∴，，，

∴，

∴，在上的单调递减.

8．求证：在R上是减函数．

【答案】证明见解析

【分析】利用函数单调性的定义取值、作差、变形、定号这个过程证明即可.

【详解】，在实数集上任取，

则，

又由，则，且不同时为零，所以，

，即，

故在R上是减函数.

题型二、求函数的单调区间

1．（25-26高一上·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（???）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用函数图象，结合函数单调性的定义，即可求解.

【详解】由函数的图象可知，单调递增区间是，

又由图知，而，所以A不正确，

故选：D.

2．（24-25高一上·江苏·月考）函数的单调增区间是（???）

A． B． C． D．

【答案】C