2026高一数学同步4.1.1 n次方根与分数指数幂（教学设计）数学人教A版2019必修第一册.docxVIP

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好好学习

第四章指数函数与对数函数

4.1.1n次方根与分数指数幂教学设计

教学内容

本节课是人教A版2019必修第一册第四章“指数函数与对数函数”中4.1.1节“n次方根与分数指数幂”。内容包括n次方根的概念及性质、根式的定义与运算，分数指数幂的含义，以及根式与分数指数幂的相互转化和有理数指数幂的运算性质。

内容解析

本节课是在学生已掌握整数指数幂和平方根、立方根的基础上，将指数概念从整数拓展到有理数的关键环节。

n次方根是平方根、立方根的推广，其定义为“若xn=a，则x称为a

根式的运算性质是核心，尤其是nan与(na)n的区别：当n为奇数时，

分数指数幂是根式的另一种表示形式，正数的正分数指数幂定义为amn=nam（

有理数指数幂的运算性质（同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方）与整数指数幂一致，为后续学习指数函数奠定基础。

教学目标

通过具体实例抽象出n次方根的概念，能区分奇次根式与偶次根式，掌握根式的运算性质，能正确化简na

理解分数指数幂的含义，能熟练进行根式与分数指数幂的互化。

掌握有理数指数幂的运算性质，能运用性质进行化简和求值。

经历从整数指数幂到分数指数幂的拓展过程，体会数学概念的推广思想，发展数学抽象和逻辑推理素养。

目标解析

达成上述目标的标志是：

学生能举例说明：若x5=32，则x是32的5次方根（即x=5

学生能将3a2表示为a23，将b-

学生能运用运算性质计算(212

学生在初中已经学习过整数指数幂，在幕函数的学习中，接触过形如S开的以分数为指数的幂，那么这种以分数为指数的幂的意义是什么？它具有怎样的运算性质？它和整数指数幕有什么联系和区别？这些都是自然而然要研究的问题.教科书就是从这样的问题出发引入本节内容.

平方、开平方以及立方、开立方是学生熟悉的运算，它们两两互为逆运算.为了一般化，教科书首先把平方根、立方根的概念推广到n次方根，介绍n次方根的性质；然后在此基础上，建立n次方根与分数指数幂的关系，说明分数(有理数)指数幕的意义，并把整数指数幕的运算性质推广到有理数指数幂的情形.

学生在初中已学习平方根、立方根和整数指数幂，对“方根”有初步认识，但对n次方根的一般性概念（尤其是奇次与偶次的区别）理解不足。

学生易混淆nan与(na)n，例如误将

对分数指数幂的合理性存在困惑（如为什么a1

基于以上分析，确定本节课的教学重点：1.根式的定义和性质.2.根式与分数指数幂的联系.3.正分数指数幂与负分数指数幂的联系；教学难点：1.指数幂的含义及其与根式的互化.2.eq\r(n,an)与(eq\r(n,a))n的区别与联系．3.能利用根式的性质对根式进行运算.

知识点一根式的定义

(1)a的n次方根的定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做eq\x(\s\up1(01))a的n次方根，其中n＞1，且n∈N＋.

(2)a的n次方根的表示

①当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．a的n次方根用符号eq\x(\s\up1(02))eq\r(n,a)表示；

②当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．正数a的正的n次方根用符号eq\x(\s\up1(03))eq\r(n,a)表示，负的n次方根用符号eq\x(\s\up1(04))－eq\r(n,a)表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成eq\x(\s\up1(05))±eq\r(n,a)(a0)；

③负数eq\x(\s\up1(06))没有偶次方根；

④0的任何次方根都是eq\x(\s\up1(07))0，记作eq\x(\s\up1(08))eq\r(n,0)＝0．

(3)根式：式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做eq\x(\s\up1(09))根指数，a叫做eq\x(\s\up1(10))被开方数．

知识点二根式的性质

当n1，且n∈N＋时，

(1)根据n次方根的意义，可得(eq\r(n,a))n＝eq\x(\s\up1(01))a．

(2)当n为奇数时，eq\r(n,an)＝eq\x(\s\up1(02))a；

当n为偶数时，eq\r(n,an)＝eq\x(\s\up1(03))|a|＝eq\x(\s\up1(04))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a＜0))．

[点拨]eq\r(n,an)与(eq\r(n,a))n的区别

(1)eq\r(n,an)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制．

(2)(eq\r(n,a))n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值范围由n的奇偶决定．当n为大于1的偶数时，(eq\r(n,a))n＝a，