2026高一数学同步4.1.2 无理数指数幂及其运算性质（教学设计）数学人教A版2019必修第一册 .docxVIP

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好好学习

4.1.2无理数指数幂及其运算性质教学设计

教学内容

本节课是人教A版2019必修第一册第四章“指数函数与对数函数”中4.1.2节“无理数指数幂及其运算性质”。内容包括无理数指数幂的概念、实数指数幂的运算性质，以及利用这些性质解决化简、求值和实际问题。

内容解析

本节课是在有理数指数幂基础上，将指数概念进一步拓展到实数范围的关键环节，为后续学习指数函数奠定基础。

无理数指数幂的概念是核心，通过“用有理数指数幂逼近”的思想理解其意义：对于无理数α，aα（a0

实数指数幂的运算性质与有理数指数幂一致，

即ar?as=ar+s、(

应用层面包括利用运算性质化简求值、解决实际问题（如细菌分裂、浓度变化等成倍数变化的场景），以及含条件的指数幂求值（如整体代换法）。

教学目标

1.理解无理数指数幂的概念.

2.掌握实数指数幂和根式之间的互化、化简、求值.

3.掌握实数指数幂的运算性质.

4.能利用已知条件求值.

目标解析

1.通过类比无理数的形成过程，理解无理数指数幂的意义.

2.掌握无理数指数幂的运算性质，并通过初步应用提升数学运算核心素养.

达成上述目标的标志是：

(1)学生能通过52的例子，说明当2的不足近似值和过剩近似值逼近2时，对应的有理数指数幂51.4,51.41

(2)学生能运用运算性质计算(2

（如a?

学生能解决“细菌每10分钟分裂一次，1小时后数量”的问题（26

并能利用x+x-1=3求

指数函数是以指数为自变量的一类函数，其定义域为实数集.为研究指数函数，需要把指数褰运算的范围进一步推广.类似于先把整数推广到有理数，然后把有理数推广到实数一样，本节教科书也是将指数嘉由整数指数寨推广到有理数指数幂，然后推广到实数指数幂，进而为指数函数的学习奠定基础.

在指数幂运算的推广过程中，“整数指数幂的运算性质在有理数指数幂、实数指数塞中仍然成立”是核心思想.对此，学生在初中学习整数指数幂时，在由正整数指数幂到负整数指数幂的推广过程中已经有所体会，本节教学中要让学生进一步体会.

学习指数幂的运算，必须解决无理数指数幂的问题.与对无理数的理解一样，对无理数指数幂的理解是本节教学的难点.对此，教科书通过“用有理数指数幂逼近无理数指数幂”的思想引入无理数指数幂.教学中，可以类比初中用有理数逼近无理数的教学，让学生通过经历从“过剩近似值”和“不足近似值”两个方向，用有理数指数幂逼近无理数指数幂的过程；然后在数轴上表示这些“过剩近似值”和“不足近似值”的对应点，发现这些点逼近一个确定的点，其对应的数就是这个无理数指数幂.由此让学生体会其中的极限思想，并从数和形两个角度认识到5〃是一个确定的实数，进而理解无理数指数募.

基于以上分析，确定本节课的教学重点：无理数指数幂的概念（通过逼近思想理解其确定性），实数指数幂的运算性质及应用；教学难点：理解无理数指数幂的意义（如何通过有理数指数幂逼近得到确定的实数）。

知识点一无理数指数幂

(1)对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．

(2)定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．

知识点二实数指数幂的运算性质

(1)aras＝eq\x(\s\up1(01))ar＋s(a0，r，s∈R)．

(2)(ar)s＝eq\x(\s\up1(02))ars(a0，r，s∈R)．

(3)(ab)r＝eq\x(\s\up1(03))arbr(a0，b0，r∈R)．

[拓展]eq\f(ar,as)＝ar－s(a0，r，s∈R)．

[提醒]实数指数幂中一定要有a0.

回顾旧知：提问“212=2，

引入课题：通过类比无理数的形成（如2由有理数逼近），引出本节课主题——无理数指数幂及其运算性质。

设计意图：通过问题链激发认知冲突，引导学生思考指数概念的进一步推广，为理解无理数指数幂铺垫。

情景一：手机电量衰减问题

问题呈现

小明的手机充满电后，每小时电量会按照固定的衰减比例变化。经测试发现，手机电量Q（单位：%）与使用时间t（单位：小时）的关系可以表示为Q=100×at（a为小于1的正数）。当使用时间为2小时（约1小时24分51

设计意图

贴近生活实际：手机是学生日常生活中高频使用的设备，电量衰减是学生熟悉且关注的场景，能快速拉近数学知识与生活的距离，降低学生对抽象概念的陌生感。

启发求知欲：通过“无理数指数是否有意义”?“电量数值是否确定”的疑问，直接引发学生的认知冲突。学生已掌握有理数指数幂的意义，但面对无理数指数时，会自然产生“如何理解”?“是否合理”的思考，从而主动探索无理数指数幂的本质，为后续“用有理数指数幂逼近无理数指数幂”的学习埋下伏笔。

关联实际需求：让学