2026高一数学同步4.1.2 无理数指数幂及其运算性质（导学案）（原卷版） 数学人教A版2019必修第一册 .docxVIP

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好好学习

4.1.2无理数指数幂及其运算性质导学案

1.理解无理数指数幂的概念.

2.掌握实数指数幂和根式之间的互化、化简、求值.

3.掌握实数指数幂的运算性质.

4.能利用已知条件求值.

教学重点：无理数指数幂的概念（通过逼近思想理解其确定性），

实数指数幂的运算性质及应用；

教学难点：理解无理数指数幂的意义（如何通过有理数指数幂逼近得到确定的实数）。

知识点一无理数指数幂

(1)对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．

(2)定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．

知识点二实数指数幂的运算性质

(1)aras＝(a0，r，s∈R)．

(2)(ar)s＝(a0，r，s∈R)．

(3)(ab)r＝(a0，b0，r∈R)．

回顾旧知：提问“212=2，

引入课题：通过类比无理数的形成（如2由有理数逼近），引出本节课主题——无理数指数幂及其运算性质。

设计意图：通过问题链激发认知冲突，引导学生思考指数概念的进一步推广，为理解无理数指数幂铺垫。

情景一：手机电量衰减问题

问题呈现

小明的手机充满电后，每小时电量会按照固定的衰减比例变化。经测试发现，手机电量Q（单位：%）与使用时间t（单位：小时）的关系可以表示为Q=100×at（a为小于1的正数）。当使用时间为2小时（约1小时24分51

设计意图

贴近生活实际：手机是学生日常生活中高频使用的设备，电量衰减是学生熟悉且关注的场景，能快速拉近数学知识与生活的距离，降低学生对抽象概念的陌生感。

启发求知欲：通过“无理数指数是否有意义”?“电量数值是否确定”的疑问，直接引发学生的认知冲突。学生已掌握有理数指数幂的意义，但面对无理数指数时，会自然产生“如何理解”?“是否合理”的思考，从而主动探索无理数指数幂的本质，为后续“用有理数指数幂逼近无理数指数幂”的学习埋下伏笔。

关联实际需求：让学生感受到数学并非孤立的理论，而是能解决生活中实际问题的工具，激发学生对本节课知识的学习兴趣和应用意识。

情景二：共享单车骑行收费问题

问题呈现

某共享单车平台的收费规则如下：骑行1小时及以内收费2元；超过1小时后，每多骑行3小时（约1小时43分12秒），需额外支付33元。小红周末骑行该共享单车共用了1+3小时，她在计算费用时产生疑问：“3

设计意图

贴合生活场景：共享单车是城市学生常见的出行方式，收费问题与学生的日常生活消费密切相关，能让学生直观感受到“无理数指数幂”可能出现在生活场景中，增强知识的实用性感知。

激发探索兴趣：通过具体的收费计算需求，将抽象的无理数指数幂转化为“需要确定的费用金额”，让学生意识到理解无理数指数幂的意义具有实际用途。学生为了算出小红的骑行费用，会主动思考“如何确定33

铺垫知识应用：该情景不仅能引入无理数指数幂的概念，还能为后续“实数指数幂的运算性质应用”埋下线索。后续学习中，可进一步拓展该情景，如计算骑行不同时长（含无理数时长）的费用，让学生在解决实际问题中巩固运算性质，实现“概念引入—知识学习—应用巩固”的连贯衔接。

探究点1：无理数指数幂的意义

公元前5世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题:边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示,希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数内的诞生.

希帕索斯

思考根据初中所学知识，思考一下边长为1的正方形的对角线长是如何计算出来的呢？

提示根据勾股定理可以计算出正方形的对角线长为上面我们将中指数的取值范围从整数拓展到了有理数．那么，当指数是无理数时，的意义是什么？它是一个确定的数吗？如果是，那么它有什么运算性质呢？

在初中的学习中，我么通过有理数认识了一些无理数．类似地，也可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂．

探究

根据的不足近似值和过剩近似值(表4.1-1)，利用计算工具计算相应的，的近似值并填入表中，观察他们的变化趋势，你有什么发现？

表

的不足近似值

的近似值

的过剩近似值y

的近似值

1.4

1.5

1.41

1.42

1.414

1.415

1.4142

1.4143

1.41421

1.41422

1.414213

1.414214

1.4142135

1.4142