2026高一数学同步4.3 4.3.1 对数的概念（导学案）（解析版） 数学人教A版2019必修第一册 .docxVIP

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好好学习

4.34.3.1对数的概念导学案

(1)通过实际问题（如指数方程求解）抽象出对数的概念，能准确表述对数的定义及相关术语（底数、真数）。

(2)掌握指数式与对数式的互化方法，能熟练将ax=N

(3)理解并能应用对数的基本性质（如loga1=0、

(4)了解常用对数（lgN）和自然对数（ln

教学重点：1.对数的概念.2.指数式与对数式的互化.3.对数的简单性质．

教学难点：1.对数概念的理解.2.指数式与对数式之间的转化．

知识点一对数的概念

(1)对数的概念：一般地，如果eq\o(□,\s\up1(01))ax＝N(a0，且a≠1)，那么数eq\o(□,\s\up1(02))x叫做以eq\o(□,\s\up1(03))a为底eq\o(□,\s\up1(04))N的对数，记作eq\o(□,\s\up1(05))x＝logaN，其中eq\o(□,\s\up1(06))a叫做对数的底数，eq\o(□,\s\up1(07))N叫做真数．

(2)两种特殊的对数

①常用对数：通常，我们将eq\o(□,\s\up1(08))以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为eq\o(□,\s\up1(09))lg__N；

②自然对数：eq\o(□,\s\up1(10))以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为eq\o(□,\s\up1(11))ln__N(其中e＝2.71828…)．

(3)对数式与指数式的关系

[想一想]在对数的概念中，为什么规定a0，且a≠1?

提示：(1)若a0，则当N为某些值时，x的值不存在，如：x＝log(－2)8不存在．

(2)若a＝0，

①当N≠0时，x的值不存在．如：log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在；

②当N＝0时，x可以是任意正实数，是不唯一的，即log00有无数个值．

(3)若a＝1，

①当N≠1时，x的值不存在．如：log13不存在；

②当N＝1时，x可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值．

因此规定a0，且a≠1.

知识点二对数的基本性质

(1)对数的性质

①eq\o(□,\s\up1(01))负数和0没有对数，即真数N0；

②1的对数为eq\o(□,\s\up1(02))0，即loga1＝eq\o(□,\s\up1(03))0(a0，且a≠1)；

③底数的对数等于eq\o(□,\s\up1(04))1，即logaa＝eq\o(□,\s\up1(05))1(a0，且a≠1)．

(2)两个重要的对数恒等式

①alogaN＝eq\o(□,\s\up1(06))N(a0，且a≠1，N0)；

②logaaN＝eq\o(□,\s\up1(07))N(a0，且a≠1)．

情景一：手机存储空间的“倍增”谜题

情景描述

小明刚买了一部新手机，初始可用存储空间为64GB。他发现自己每天使用手机时，存储的照片、视频和应用数据会以固定比例增加，经过计算，每30天手机的已用存储空间就会翻倍（即变为原来的2倍）。妈妈提醒小明：“当已用存储空间达到总容量的75%时，就需要清理文件了，否则手机会变卡顿。”已知手机总存储容量为128GB，请问从购买手机开始，经过多少天小明需要第一次清理手机存储？

问题拆解与启发

第一步：引导学生计算“需要清理时的已用存储容量”——总容量128GB的75%为96GB，初始已用存储可忽略（视为0），但初始可用64GB，实际需关注“已用存储从0增长到96GB”，且增长规律是“每30天翻倍”。

第二步：建立指数模型——设经过x个30天，已用存储容量为64×2^x（因初始可用64GB，当已用达到96GB时，可用存储为32GB，即64×(1/2)^x=32，简化为2^x=2，此处可根据学生基础调整模型表述，核心是引导学生写出指数式）。若直接以“每天的增长比例”建模，可设每天存储增长r，30天翻倍则(1+r)^30=2，求“当已用存储为96GB时的天数t”，即64×(1+r)^t=96，代入(1+r)=2^(1/30)，得到2^(t/30)=1.5。

第三步：引发认知冲突——提问学生“如何求出t的值？”，学生已学过指数运算（已知底数和指数求幂值），但此时需要“已知底数2和幂值1.5，求指数t/30”，现有知识无法解决，自然引出“需要一种新的运算来表示这种‘已知底数和幂值求指数’的问题’’，即对数。

情景二：家庭理财的“翻倍”时间计算

情景描述

爸爸为小丽开设了一个教育储蓄账户，初始存入1万元，选择的理财产品年利率为3.5%，且按复利计算（即每年的利息会加入本金，下一年一起计算利息）。爸爸告诉小丽：“当账户余额达到2万元时，就可以用这笔钱买你心仪的学习设备了。”小丽想知道，按照这个利