2026高一数学同步4.2.1 指数函数的概念（导学案）（原卷版） 数学人教A版2019必修第一册 .docxVIP

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好好学习

4.2.1指数函数的概念

导学案

(1)通过旅游人次增长和碳14衰减的实例，经历从具体到抽象的过程，理解指数函数的概念，能准确表述指数函数的定义。

(2)明确指数函数中底数a的限制条件（a0且a

(3)能根据指数函数的概念判断给定函数是否为指数函数，能求简单指数函数的解析式（已知函数过某点）。

(4)体会指数函数在刻画实际问题中的作用，感受数学的应用价值，发展数学抽象和数学建模素养。

教学重点：指数函数的概念及特征（形式为y=ax，a0且a≠1）

教学难点：从实际问题中抽象出指数函数的模型（识别指数增长与衰减的规律），区分指数函数与幂函数（前者指数为自变量，后者底数为自变量）。

知识点一指数函数的定义

一般地，．

知识点二指数增长模型

在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝．形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型．

导入新知

导入A：淄博烧烤“出圈”数据

【情境】2023年3月淄博日均游客20万，4月日均28万，5月日均39万……

【追问】“如果按此趋势，暑假日均游客会达到多少？”

【设计意图】

用学生亲历的热点事件激发兴趣

引出“逐月增长率”概念，为指数模型埋伏笔

【教学建议】

让学生先猜“线性增长”还是“指数增长”，再用数据验证

导入B：三星堆“上新”考古

【情境】三星堆遗址碳14测年：某文物距今约3000年，碳14剩余量约30%

【追问】“考古学家怎么算出3000年？”

【设计意图】

渗透中华优秀传统文化，激发民族自豪感

从“半衰期”自然过渡到指数衰减模型

【教学建议】

用动画演示“每5730年减半”过程，直观感受衰减

【设计意图】通过具体的引例和类比，引导学生初步思考全称量词命题和存在量词命题的否定形式，为后续的探究做好准备。

【教学建议】教师可以通过提问和讨论的方式，引导学生思考引例中的问题，鼓励学生发表自己的见解。

探究点1：指数函数的概念

对于幂，我们已经把指数的范围拓展到了实数．上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法．下面继续研究其他类型的基本初等函数．

问题1随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式．由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票．表4.2-1给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量．

表4.2-1

时间／年

Ａ地景区

Ｂ地景区

人次／万次

年增加量／万次

人次／万次

年增加量／万次

2001

600

278

2002

609

9

309

31

2003

620

11

344

35

2004

631

11

383

39

2005

641

10

427

44

2006

650

9

475

48

2007

661

11

528

60

2008

671

10

588

60

2009

681

10

655

67

2010

691

10

729

74

2011

702

11

811

82

2012

711

9

903

92

2013

721

10

1005

102

2014

732

11

1118

113

2015

743

11

1244

126

比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？

为了有利于观察规律，根据表4.2-1，分别画出A，B

两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图象（图4.2-1和图4.2-2）．

为了便于观察，可以先根据表格中的数据描点，然后用光滑的曲线将离散的点连起来。

为了便于观察，可以先根据表格中的数据描点，然后用光滑的曲线将离散的点连起来。

观察图象和表格，可以发现，A地景区的游客人次近似于直线上升（线性增长），年增加量大致相等（约为10万次）；B地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律．

探究

我们知道，年增长量是对相邻两年的游客人次做减法得到的．能否通过对地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？请你试一试．

从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到

做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的长率．增加量、增长率是年增刻画事物变化规律的两个很重要的量．，，……，

做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的长率．增加量、