2026版创新设计高考总复习数学（人教B版）-对点练60 向量法、几何法求空间角.docxVIP

对点练60向量法、几何法求空间角

(分值：60分)

1.(13分)(2025·郑州模拟)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别是AD，DD1的中点.

(1)求证：BC1∥平面B1MN；

(2)若AB＝2，AA1＝4，且底面ABCD为正方形，求平面B1MN与平面BCC1B1夹角的余弦值.

2.(15分)(2025·合肥模拟)如图1：等腰直角△ABC中AC⊥AB且AC＝2，分别沿三角形三边向外作等腰梯形ABB2A2，BCC2B3，CAA3C3使得AA2＝BB2＝CC2＝1，∠CAA3＝∠BAA2＝eq\f(π,3)，沿三边AB，BC，CA折叠，使得A2A3，B2B3，C2C3，重合于A1，B1，C1，如图2.

(1)求证：AA1⊥B1C1.

(2)求直线CC1与平面AA1B1B所成角θ的正弦值.

3.(15分)(2025·广州调研)如图，在四棱锥P－ABCD中，CD∥AB，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD＝4，三棱锥B－PAD的体积为eq\f(4\r(2),3).

(1)求点P到平面ABCD的距离；

(2)若PA＝PD，平面PAD⊥平面ABCD，点N在线段AP上，AN＝2NP，求平面NCD与平面ABCD夹角的余弦值.

4.(17分)(2025·大连模拟)已知一圆形纸片的圆心为O，直径AB＝2，圆周上有C，D两点.如图，OC⊥AB，∠AOD＝eq\f(π,6)，点P是eq\o(BD,\s\up8(︵))上的动点.沿AB将纸片折为直二面角，并连接PO，PD，PC，CD.

(1)当AB∥平面PCD时，求PD的长；

(2)若OP⊥OD，求OP与平面PCD所成角的正弦值.