2026版创新设计高考总复习数学（人教B版）-对点练77 求值、证明、探索性问题.docxVIP

对点练77求值、证明、探索性问题

(分值：60分)

1.(13分)(2025·南昌模拟)已知椭圆Γ：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)经过点Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),2)))，P为椭圆Γ的右顶点，O为坐标原点，△OPE的面积为eq\f(\r(3),2).

(1)求椭圆Γ的标准方程；

(2)过点D(－1，0)作直线l与椭圆Γ交于A，B，A关于原点O的对称点为C，若|BA|＝|BC|，求直线AB的斜率.

2.(15分)(2025·长春模拟)已知点F(2，0)，直线l：x＝1，动圆P与直线l相切，交线段PF于点M，且|PF|＝eq\r(2)|PM|.

(1)求圆心P的轨迹方程，并说明是什么曲线；

(2)过点F且倾斜角大于eq\f(3π,4)的直线l′与y轴交于点M，与点P的轨迹交于点M1，M2，且eq\o(FM,\s\up6(→))＝λeq\o(FM1,\s\up6(→))＝μeq\o(FM2,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值.

3.(15分)(2025·宁波调研)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(2),2)))，记椭圆的左顶点为M，右焦点为F.

(1)若椭圆C的离心率e∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，求b的取值范围；

(2)已知a＝eq\r(2)b，过点F作直线与椭圆C分别交于E，G两点(异于左、右顶点)，连接ME，MG，试判断EM与EG是否可能垂直，请说明理由.

4.(17分)(2023·新高考Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))的距离，记动点P的轨迹为W.

(1)求W的方程；

(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3eq\r(3).