【2022高中数学一轮复习】专题3.13—函数恒成立问题-2022届高三数学一轮复习精讲精练.docVIP

专题3.13—函数恒成立问题 一．单选题 1．若不等式对一切恒成立，其中，，为自然对数的底数，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 2．如图，函数的图象由一条射线和抛物线的一部分构成，的零点为，若不等式对恒成立，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 3．已知，，若成立，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 4．已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 5．已知，函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是　　 A．， B． C． D． 6．已知当时，不等式恒成立，则所有满足条件的整数的和为　　 A．1 B．3 C．6 D．10 7．当时，不等式，，恒成立，则的最大值为　　 A． B．2 C． D． 8．函数，，对，，，，使成立，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 二．多选题 9．若不等式对任意正数，恒成立，则实数的可能取值为　　 A． B．2 C． D．1 10．设函数与的定义域分别为，，，唯一的，使得．下列选项中的函数满足题设的是　　 A．， B．， C．， D．， 11．已知，，且，若对任意的，恒成立，则实数的可能取值为　　 A． B． C． D．2 12．设函数的定义域为，满足，且当，时，，若对任意，，都有，则实数的可能取值为　　 A．3 B． C．2 D．1 三．填空题 13．若对，不等式恒成立，则正实数的最大值为　　． 14．若一次函数对任意，恒成立，那么　　． 15．设对任意，不等式恒成立，则实数的范围是　　． 16．若对任意，不等式恒成立，则的范围　　． 四．解答题 17．已知函数为实常数）． （1）讨论函数的奇偶性，并说明理由； （2）当为奇函数时，对任意，，不等式恒成立，求实数的最大值． 18．． （1）求的零点个数； （2）使不等式对任意，恒成立时最大的记为，求当，时，的取值范围．  专题3.13—函数恒成立问题 答案 1．解：令，题中的不等式即恒成立， 若，则，考虑函数为开口向上的抛物线， 可能与轴相切，或轴的上方，可得递增，无最大值； 也可能与轴有两个交点，可得无最大值； 所以，， 则，， 当时，在递增，递减，符合题意； 时，在递减，，递增，递减， ，，故符合题意， 综上，，，因此，． 故选：． 2．解：由题意可知射线经过点，，，则射线的方程为． 当时，设， 因为（1），所以． 即，． 令， 则该方程的解为，，，， 令， 则． 由不等式对恒成立可得， 解得． 故选：． 3．解：由，，可得， 即有为偶函数， 当时，，导数为，可得在，递增， 成立，可得， 即为， 则， 化为，即， 解得， 故选：． 4．解：， 在直角坐标系中，画出函数和的图象， ①当即时，它们都过，当时，， ， 由，则有时，恒成立， 时，由图象可得恒成立； ②当即时，它们都过，，当，， 由于时，，只要考虑，， 由，则有，恒成立， 或时，由图象可得，恒成立， 则，时，对任意，恒成立； ③当或，即或时，由图象平移可得，对任意，恒成立． 综上可得，的取值范围为或． 故选：． 5．解：当时，， 即为，即， 即有， 令，对称轴为， 当，即时，的最小值，解得， 所以； 当，即时，的最小值为，解得，所以， 综上可得，； 当时，，可得， 令，可得， 当时，递增，当时，递减，可得的最小值为， 所以， 综上可得，． 故选：． 6．解：设的导数为， 直线恒过定点， 设直线与的切点为， 则，， 可得， 则， 设，可得，即， 由和的图像可得，它们有两个交点， 可得的横坐标介于，之间， 所以整数的取值为1，2，3，和为． 故选：． 7．解：设， 则， 当时，因为， 所以，所以在递增； 时，．所以不符题意； 当时，令，可得， 当，，递增； 当，时，，递减． 所以的最大值为， 所以由题意可得，即， 因为，所以， 设（a）， 则（a）， 当时，（a），（a）递增， 当，时，（a），（a）递减， 所以（a）的最大值为， 所以的最大值为． 故选：． 8．解：若对，，，，使成立， 只需函数的值域为函数的值域的子集即可． 函数，，的值域为，． 当时，递增，可得其值域为，， 要使，，， 需，解得， 综上，的取值范围为，． 故选：． 9．解：由，可得， 化为， 由题意可得恒成立， 由， 当且仅当时，取得等号， 则， 对照选项，可得正确． 故选：． 10．解：由题意可知，：，唯一的，使得， 若，则，不符合题意，故， 选项中，，则（1），不符合题意，故选项错误； 选项中，若，则， 因为得，所以，此时，与条件，唯一的矛盾，故选项错误； 选项，中的函数均为上的单调函数，故无论为值域中的任何一个数，中都有唯一的倒数满足条件，故选项，正确． 故选：． 11．解：若对任意的，恒成立， 则对任