【2022高中数学一轮复习】专题4.7—导数大题（讨论单调性）-2022届高三数学一轮复习精讲精练.docVIP

专题4.7—导数大题（讨论单调性） 1．已知函数，． （Ⅰ）当时，求的图象在点，（1）处的切线； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）判断函数在区间上的单调性． 解：（Ⅰ）当时，，，所以切点坐标为， 因为，则（1）， 所以切线的斜率为0，切线方程为． （Ⅱ），， 令，得或， 当时，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的单调递增区间为，的单调递减区间为； 当时，，单调递增， 所以的单调递增区间为； 当时，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的单调递增区间为，的单调递减区间为； 综上：当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为． （Ⅲ）当时，， 由（Ⅱ）知，的单调递增区间为，的单调递减区间为， 令， 当时，， 当时，取极小值也是最小值，（2）， 所以（a），即， 所以在上单调递减，在上单调递增． 2．已知函数，其中． （1）当时，求函数在，上的最值； （2）讨论函数的单调性． 解：（1）时，，的定义域是， 故， 令，解得：，令，解得：， 故在递减，在递增， 故在，递减，在，递增， 故（1），又，（e）， 故（e）， 即函数在，上的最大值是，最小值是1； （2）， 当时，恒成立，在单调递增， 当时，令，解得：， 令，解得：， 故在递减，在，递增， 综上，当时，在单调递增， 当时，在递减，在，递增． 3．已知函数， （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性． 解：（1）时，， 则， 故（1），（1）， 故切线方程是：，即； （2）因为， 对求导，，， ①当时，恒成立，此时在上单调递增； ②当，由于，所以恒成立，此时在上单调递增； ③当时，令，解得， 因为当，，当，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上可知，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减． 4．已知函数，． （1）求曲线过的切线方程； （2）讨论函数在内的单调性． 解：（1）由，得， 设切点为，则， 曲线在切点处的切线方程为， 把代入，可得，解得． 曲线过的切线方程为； （2） ，则， 若，则，在上单调递增； 若时，列表如下： 0 当时，单调递减，当时，单调递增． 综上，若，在上单调递增； 若，当时，单调递减， 当时，单调递增． 5．已知函数． （1）若在单调递增，求的范围； （2）讨论的单调性． 解：（1），的定义域是， 则， 在单调递增，故在上恒成立， 即在上恒成立， 只需即可，解得：， 故在递增时的取值范围是，； （2）由（1）得：， 令，解得：或， 当即时， 令，解得：，令，解得：， 故在递减，在递增， 当即时， 令，解得：或，令，解得：， 故在递增，在递减，在递增， 当即时，恒成立，则在上单调递增， 当即时， 令，解得：或，令，解得：， 故在递增，在递减，在递增， 综上：时，在递减，在递增， 时，在递增，在递减，在递增， 时，在上单调递增，无递减区间， 时，在递增，在递减，在递增． 6．已知函数． （Ⅰ）讨论函数的单调性； （Ⅱ）若有两个极值点，，且恒成立，求的取值范围． 解：（Ⅰ）由题意 的定义域是， ，当且仅当时“”成立， 当即时，，在单调递增， 当即时，令，即，△， 解得：或，且均为正数， 则函数在递增，在，递减，在，递增； 综上：时，在单调递增， 时，函数在递增，在，递减，在，递增． （Ⅱ）若有2个极值点，，则，是方程的两根不相等的正实数根， 故结合（Ⅰ）可知，， 又，，由恒成立， 可得恒成立， 而， 令， 则，令， 则，则函数在上单调递减， 故（1），故，则在上单调递减， （1），可得， 故的取值范围是，．