【2022高中数学一轮复习】专题4.5—导数大题（恒成立问题2）-2022届高三数学一轮复习精讲精练.docVIP

专题4.5—导数大题（恒成立问题2） 1．已知函数，，其中，． （Ⅰ）若函数无极值，求的取值范围； （Ⅱ）当取（Ⅰ）中的最大值时，求函数的最小值； （Ⅲ）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 解：（Ⅰ）函数， 则， 由题意可得，方程在区间上无根或有两个相等的根， 即方程在区间上无根或有两个相等的根， 所以； （Ⅱ）当时，，， 由（Ⅰ）可知，在上单调递增，且（1）， 当时，（1），可得 当时，（1），可得， 所以当时，， 令，不等式，平方可得， 故当时，不等式成立，当时取等号， 所以当时，函数取最小值2； （Ⅲ）对任意的恒成立， 等价于对任意的恒成立， 等价于对任意的恒成立， 令，则对任意的，恒成立， 令，则， 由（Ⅱ）可知，，即， 所以在，上单调递增， 则当时，取得最大值为（2）， 所以， 故实数的取值范围为，． 2．已知． （1）求在处的切线方程； （2）若恒成立，求的取值范围． 解：（1）依题意，，则， 在处的切线斜率为， 又， 所求切线方程为； （2）依题意，在上恒成立， 显然当时，上式成立，得，解得， 下面证明当时，在上恒成立， 当时，要证在上恒成立， 即证，即证，即证， 令，则函数是一个开口向下的二次函数，其对称轴为， 而，故， 令，则，当且仅当时等号成立， 令，则， 易知在单增，在上单减， ，即，当且仅当时等号成立， 故当时，在上恒成立， 实数的取值范围为，． 3．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当，时，，求的取值范围． 解：（1），， 当时，，在上单调递减； 当时，由，解得：， 由，解得：， 故在递减，在，递增， （2）当，时，恒成立， 即对于任意的，，恒成立， 设，则有， 令，则在，上恒成立， 即得在，上单调递减， 因为（1），（2）， 所以存在唯一的，，使得， 且当，时，；当，时，， 所以在，上单调递增，在，上单调递减， 又因为， 所以（2）（1）， 所以，即得， 则有的取值范围为． 4．已知函数，． （1）当时，求证：当时，； （2）若在，上恒成立，求的取值范围． （1）证明：当时，， 所以，则恒成立， 故在，上单调递增， 所以，则在，上单调递增， 故， 故原式得证； （2）解：因为， 令， 即求解恒成立， 因为，， 又，，故， 所以在，上单调递增， 则， ①当，即时，，故在，上单调递增， 故． 此时原式成立，故满足题意； ②当，即时，，当时，， 故，使得， 所以当时，，则在上单调递减， 故，矛盾． 综上所述，的取值范围为，． 5．已知函数，． （1）若在点，（1）处的切线过原点，求的值； （2）在（1）的条件下，若恒成立，求的取值范围． 解：（1）函数的定义域为， 因为，所以（1）， 又（1），所以切点坐标为，切线的斜率为， 故切线的方程为， 因为切线过原点，则有，解得； （2）由（1）可知，，则恒成立， 等价于恒成立， 令， 则（1），且，（1）， 又， 令， 则在上单调递增，且（1）， 当时，，则为单调递减函数， 当时，，则为单调递增函数， 所以当时，取得最小值（1）， ①当，即时，（1）， 则单调递增，又（1）， 所以当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以（1），故式恒成立； ②当时，（1），又当时，， 存在，使得， 当时，有，即单调递减， 所以（1），此时单调递减， 故当时，（1），故式不成立． 综上所述，的取值范围为． 6．已知函数． （1），时，讨论函数的导数的单调性； （2）时，不等式对恒成立，求实数的取值范围． 解：（1）当，时，， 则，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； （2）当时，不等式对恒成立， 等价于对恒成立， 令，， 则， 且，， 因为对恒成立， 所以在，上单调递增， ①当时，，所以在，上单调递增， 则，所以成立； ②当时，， 因为， 所以， 则，使得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，， 故不成立． 综上所述，的取值范围是，．