【2022高中数学一轮复习】专题4.4—导数大题（恒成立问题1）-2022届高三数学一轮复习精讲精练.docVIP

专题4.4—导数大题（恒成立问题1） 1．已知函数． （Ⅰ）判断函数在上的零点个数，并说明理由； （Ⅱ）当，时，，求实数的取值范围． 解：解法一：由题意得，， 当时，易得函数单调递增， 而，， 故，当，时，； 当时，，而，． 函数在上无零点；（3分） 当时，，函数在上单调递增， 而，函数在上有1个零点． 综上所述，函数在上有1个零点．（6分） 解法二：由，得，则． 在同一直角坐标系中，作出和的图象，， 由图象易知函数在上只有一个零点．（6分） 令，，，则． ，，（8分） 令，在，上恒成立， 则为增函数，即为增函数． ①当，即时，，在，上为增函数，，即在，上恒成立；（10分） ②当，即时，，，使， 当，，，为增函数； 当为减函数，，与在，上恒成立相矛盾，不成立． 综上所述，实数的取值范围是，．（12分） 2．已知函数，． （1）当，时，求证：； （2）当时，若，求实数的取值范围． 解：（1）证明：由得，， 当时，，在上递减， 当时，，在上递增， （1）， 由于，则在，上递减，故，当且仅当，时取等号， 综上，； （2）令， 由于，所以时，， 令， 当时，，在上递减，则， 此时，不合题意； 当时，令，解得，则在上递减，则， 故当时，，不合题意； 当时，， 在上递增，则，即，符合题意． 综上，实数的取值范围为，． 3．已知函数． （1）当，时，恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，对任意的，恒成立，求整数的最小值． 解：（1）依题意，对任意，均成立，即对任意，均成立， 令，则，， 易知当时，，当时，， 在单调递减，在单调递增， ， 在上单调递增， 又， 当时，恒成立，即恒成立， ，即实数的取值范围为，； （2）由（1）知，当，时，恒成立，即恒成立，当，时，恒成立， 而为上的奇函数， 所以要使当时，对任意的，恒成立， 只需当时，对任意的，，恒成立即可， 即当时，对任意的，，恒成立即可， 若，则可取，此时始终有，不合题意，故， 若当时满足题意，即对，都有成立， ①当时，显然成立； ②当时，，符合题意； ③当时，，符合题意． 综上，整数的最小值为1． 4．已知函数． （1）若，求曲线在点，（1）处的切线方程； （2）若的两个极值点为，，且，不等式恒成立，求实数的取值范围． 解：（1）当时，， ． 因为（1），， 所以所求切线方程为，即． （2）因为，所以，是方程的两个正根． 令，则，解得． 因为， 所以． 由，可得． 因为，所以，即恒成立． 令，因为，所以，则，整理得． 令，，则． 所以在，上单调递减，所以． 由，解得， 故的取值范围是． 5．已知函数． （1）若，讨论的单调性； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的值． 解：（1）因为， 当时，，． 当时，，，可得，单调递增； 当时，，，可得，单调递减， 综上所述，在上单调递减，在上单调递增．（4分） （2）由（1）知． 当时，恒成立，此时单调递增，的值域为，不符合题意；（6分） 当时，则，也不符合题意；（7分） 当时，令得，即， 令，（8分） 则， 所以在单调递增． 设存在使得，两边同时取对数可得：， 则时，，；当时，，． 所以当时，， 故只需即可，（10分） 令（a），则， 由（a）可得：，由（a）可得：， 所以（a）在上单调递增，在上单调递减， 故（a）（1），所以（a）， 又因为（a），所以（a）， 由以上证明可知（1），所以． 故满足条件的实数的值为1．（12分） 6．已知函数． （1）若有两个零点，求的取值范围； （2）设，若对任意的，都有恒成立，求的取值范围． 解：（1）令，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，；当时，；当时，， 所以当，即，有两个零点， 有两个零点时，的范围是． （2）对任意的，不等式恒成立， 在上恒成立， 令，则， 令，则， 在上为增函数， 又（1），， ，使得，即， 时，，即，在上单调递减； 时，，即，在，上单调递增， ， 由，可得， 令，则， 又， 在上单调递增， ，则，， ， ， ， 综上所述，满足条件的的取值范围是．