【2022高中数学一轮复习】专题4.20—导数大题（与三角函数相结合的问题2）-2022届高三数学一轮复习精讲精练.docVIP

专题4.20—导数大题（与三角函数相结合的问题2） 1．已知函数，其中，为自然对数的底数． （1）当时，对，， ①证明：； ②若恒成立，求实数的范围； （2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围． 解：（1）①证明：当时，，则，， 由于当时，，，故， 在，上为增函数， 又， 当时，， 在，上为增函数， ，即得证； ②依题意，在，上恒成立， 设，则，由①可知， 当时，，此时在，上单调递增，故，符合题意； 当时，由①知，在，上为增函数，则必存在，，使得， 且当，时，，当，时，， 在，上单调递减，在，上单调递增， ，不符合题意． 综上，实数的取值范围为，； （2），则依题意有，在上有解， 令，则在上恒成立， 在上单调递减， 又时，，时，， ，，故实数的取值范围为． 2．已知函数，． （1）（ⅰ）证明：； （ⅱ）证明：． （2）当时，恒成立，求实数的取值范围． 解：（1）（ⅰ）证明：由，可知． 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 当时，函数有最小值，又， 故． （ⅱ）证明：由，可知． 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 当时，函数有最小值， 又， 故． （2）当时，恒成立， 等价于当时，恒成立． 设函数，则， 设，则． 当时，，，， 结合（1）（ⅰ）问结论知，， 故函数在，上单调递增． 若，则当时，，， 函数在在，上单调递增，又， 故，满足题意． 若，因为，， 结合（1）（ⅱ）问结论可知，（a）， 又，函数在，上单调递增， 故存在，使得， 当时，，， 函数在上单调递减，此时， 又，即当时，，不符题意． 故的取值范围是，． 3．设函数，（其中是的导函数）． （Ⅰ）当时，判断函数在上的单调性； （Ⅱ）若，证明：当，时，函数有2个零点． 解：（Ⅰ）当时，，，令，则， ， ，， ， 在单调递增， ， 在单调递增； （Ⅱ）证明：， 当时，由于，故是的一个零点； 令，则， ， ①当时，，故， 在单调递增， ， 在上单调递增， ，此时在无零点； ②当，时，， ， 在，无零点； ③当时，， ， 在单调递增， ，， 由零点存在性定理可知，存在，使得， 且时，，单调递减，，时，，单调递增， 又，， 在有一个零点， 综上，当，时，函数有2个零点． 4．已知函数，且曲线在处的切线方程为． （1）求实数，的值； （2）若对任意，都有恒成立，求的取值范围． 解：（1）对于函数，当时，， 此时，切线的斜率为， 故此处的切线方程为，即． 再根据曲线在处的切线方程为， 可得，且， ，且． （2）对任意，都有恒成立， 当时，恒成立． ，则，由于，，而是上的增函数， 故存在实数，使，故在上小于零，在上大于零， 故在上递减，在上递增， 故的最小值为． 而，故在上，恒成立，即在上单调递减． 当时，，故在上单调递增，故的最小值为， ，故的范围为，． 5．已知函数，为的导函数． （1）求函数的极值； （2）设函数，，讨论的单调性； （3）当时，，求实数的取值范围． 解：（1）， 因为， 所以在单调递增，又， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，的极小值，无极大值． （2）， 由（1）知，，即， 当时，，，在上单调递增， 当时，令，得， 于是当，，，单调递减， 当，，，单调递增， 综上，当时，在单调递增， 当时，在上单调递减，在单调递增． （3）令， 则，，， ， 的导函数， 因为，，所以， 在，上单调递减， 当时，对任意时，， 所以在，上单调递减， 所以对任意时，， 当时，因为在，上单调递减，， 当时，， 故，使，且时，，单调递增， 所以，与任意，矛盾， 所以实数的取值范围为，．