（双曲线和简单几何性质）解析几何题怎样求范围.docVIP

解析几何题怎样求范围 在解析几何中，范围问题既是重点又是难点.由于范围问题能反映学生的思维能力，因此也一直是高考命题的热点问题.下面介绍七种求范围的常用方法. 一、利用不等式的性质求范围 例1（1997年全国高考题）已知圆满足：①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l:x－2y=0的距离最小的圆的方程. 解 设圆心为P（a,b），半径为r，则点P到x轴、y轴的距离分别为由题设知圆P截x轴所得的弦长为，故r2=2b2. 又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r2=a2+1，从而有2b2－a2=1. 又点P（a,b）到直线x－2y=0的距离为 当且仅当a=b时，d取最小值，又由2b2－a2=1解得a=1,b=1，或a=－1,b=－1，由r2=2b2得：r=. ∴所求圆的方程为（x－1）2+(y－1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2. 二、利用判别式求范围 例2（1996年全国高考题）已知l1、l2是过点P（，0）的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2－x2=1各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2. （1）求l1的斜率k1的取值范围. （2）若，求l1,l2的方程.（解略） 解 （1）由题意可设l1、l2的斜率分别为k1、k2（k1,k2≠0），由消去y得： 若，则方程组只有一个解，即l1与双曲线只有一个交点，与题设矛盾. 若，即， 由 得： 同理可得且 由． 由以上可得 ． 三、利用函数的单调性求范围 例３（１９９０年全国高考题）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率，已知点Ｐ（０，到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求出椭圆上到点Ｐ的距离等于的点的坐标． 解　设椭圆的方程为 设椭圆上的点（x,y）到Ｐ的距离为d， 则 若，则当时，， 与矛盾． 若，则当 ，所求椭圆方程为所求点为． 四、利用题设条件求范围 例５（２０００年全国高考题）已知梯形ＡＢＣＤ中，，点Ｅ分有向线段所成的比为λ，双曲线过Ｃ、Ｄ、Ｅ三点，且以Ａ、Ｂ为焦点，当时，求双曲线离心率e的取值范围． 解　以ＡＢ的垂直平分线为y轴，直线ＡＢ为x轴，建立直角坐标系，则ＣＤ⊥y轴，因为双曲线经过Ｃ、Ｄ，且以Ａ、Ｂ为焦点，由双曲线的对称性知Ｃ、Ｄ关于y轴对称，设Ａ（－c，０），Ｃ（，其中为双曲线的半焦距，h为梯形的高，由定比分点坐标公式得： 设双曲线的方程为，则，由点Ｃ、Ｅ在双曲线上，将点Ｃ、Ｅ的坐标和代入双曲线方程得 ① ② 由①得 ③ 将③代入②，整理得 解得． 分析　直线l与双曲线Ｃ的左、右两支交于Ａ、Ｂ两点，所以直线l与双曲线Ｃ的方程联立；消y得x的一元二次方程应有异号的两实根，根据以上条件可得含离心率e的不等式． 解　设Ｆ２（c，０）；双曲线Ｃ的斜率大于零的渐近线方程为． 则l的方程为 由 消y后整理得 ∵l与双曲线Ｃ有两个交点， 设 ∵Ａ、Ｂ两点分别在双曲线的左、右两支上， 即 即， ∴双曲线Ｃ的离心率e的取值范围是（． 练习题　 １．设Ｐ是椭圆上一点且∠Ｆ１ＰＦ２＝９０°，其中Ｆ１、Ｆ２是椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率的范围．（答案：≤e＜１ ２．已知椭圆Ｃ： 的长轴两端点是Ａ、Ｂ，若Ｃ上存在点Ｐ，且∠ＡＰＢ＝１２０°，求椭圆Ｃ的离心率的取值范围.（答案：） —3—