例题（四）（抛物线和简单几何性质）.docVIP

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2017-08-25 发布于河南
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例题（四）（抛物线和简单几何性质）.doc

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［例1］已知双曲线的方程是，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线标准方程及抛物线的准线方程. 选题意图：考查抛物线的基本性质. 解：∵双曲线的右顶点坐标是(2，0). ∴,且抛物线的焦点在x轴的正半轴上. ∴所求抛物线的方程和准线方程分别为 . ［例2］若抛物线的焦点为(2，2)，准线方程为x+y-1=0，求此抛物线的方程. 选题意图：考查抛物线的定义. 解：设P(x,y)是抛物线上的任意一点，抛物线的焦点为F，由抛物线的定义得：｜PF｜=d(d为P到准线的距离)， ∴. 整理得：x2-2xy+y2-6x-6y+15=0. 说明：由于抛物线不在标准位置，所以采用抛物线定义求其方程. ［例3］定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线上移动，求AB中点到y轴距离的最小值，并求出此时AB中点M的坐标. 选题意图：考查对抛物线知识的综合运用能力. 解：如图，设F是抛物线的焦点，A、B两点到准线的垂线分别是AC、BD，M点到准线的垂线为MN，N为垂足，则｜MN｜=（｜AC｜+｜BD｜）. 根据抛物线定义得：｜AC｜=｜AF｜,｜BD｜=｜BF｜. ∴｜MN｜=（｜AF｜+｜BF｜）≥. 设M点的横坐标为x，则｜MN｜=x+. ∴. 等号成立的条件是弦AB过点F，由于｜AB｜＞2p=1. ∴AB过焦点是可能的，此时M点到y轴的最短距离是，即AB的中点横坐标为. 当F在AB上时，设A、B的纵坐标分别为y1、y2，则y1y2=-p2=-,从而 (y1+y2)2= ∴y1+y2=±. ∴此时AB中点的纵坐标为±. ∴M的坐标为()时，M到y轴距离的最小值为. 说明：此题的难点是求最小值.而利用抛物线定义及梯形中位线性质等几何知识使问题变得非常简单，这再一次说明在解题中注意运用圆锥曲线的定义及有关的几何知识，对解题是非常有益的.