（双曲线和简单几何性质）设而不求解有关中点题目举例.docVIP

设而不求解有关中点题目举例 □　河北迁安市第一中学　兰英 在涉及直线和圆锥曲线的题目中，有一些有关中点的问题，我们利用设而不求的办法来处理，使题目在解法上简便易行． 利用设而不求，求中点弦方程． 例１　椭圆中，过Ｐ（１，１）的弦被Ｐ点平分，求此弦所在的直线方程． 解　设过Ｐ（１，１）的弦与椭圆交于 两式相减得 弦所在直线方程为 二、利用设而不求，解中点轨迹问题 例２　求椭圆中，一组斜率为２的平行弦中点的轨迹方程． 解　设弦的中点Ｐ（x,y）为轨迹上任一点，平行弦与椭圆的交点． 两式相减得 即所求轨迹方程为（） 三、利用设而不求，证明有关中点问题 例３　ＡＢ是椭圆中不平行于对称轴且不过原点Ｏ的一条弦，Ｍ是ＡＢ中点，求证：． 证明　设， 两式相减 ， ∴得证． 例４　已知椭圆，Ａ、Ｂ是椭圆上两点，线段ＡＢ的垂直平分线与x轴相交于点Ｐ（x0,0）. 求证：． 证明　设 两式相减得 则ＡＢ的垂直平分线方程为中垂线与x轴的交点 而Ｍ是弦ＡＢ的中点，则点Ｍ在椭圆内 ，因此成立． 四、设而不求，虽然免去求点的坐标的繁锁，但由于避开方程的联立，对于解是否存在没有给出限制，会使有些问题的求解错误． 例５　已知双曲线方程为，是否存在直线l，使Ｎ（１，）为l被双曲线所截弦的中点，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由． 解　设过Ｎ的直线l交双曲线于 两式相减得 由题 又∵双曲线的一条渐近线方程为．而，因此直线l与双曲线没有公共点， ∴使Ｎ（１，）为中点的弦不存在． 因此可以看出，设而不求应是在有解条件下进行，切不可忽视存在条件． 练习１　双曲线的一支上不同三点与焦点Ｆ（０，５）的距离成等差数列，求（１）；（２）求证：线段ＡＣ的垂直平分线经过某一定点，并求该点坐标． 练习２　直线l过抛物线的焦点Ｆ，求证：对于这抛物线的任何给定的一条弦ＣＤ，直线l不是ＣＤ的垂直平分线． —1—