棱椎同步练习.docVIP

相关练习 例1．已知正三棱锥的侧面积为18，高为3 cm，求它的体积. 解：设正三棱锥底面边长为a，斜高为h′,底面内切圆半径为r。 ∵S侧= 又∵h=3,r= 解得 a2=36,∴S底= ∴. 例2.如图，四棱锥P—ABCD底面为一直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，侧面PAD⊥底面ABCD. (1)求证平面PCD⊥平面PAD； (2)若AB=2，CD=4，侧面PBC是一边长等于10的正三角形，求对角线AC与侧面PCD所成角的正弦值. (1)证明：∵侧面PAD⊥底面AC，CD⊥AD，CD平面ABCD. ∴CD⊥平面PAD. 又∵CD平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAD. (2)解：作AE⊥PD于E，连结CE，∵平面PAD⊥平面PCD， ∴AE⊥平面PCD， 故∠ACE就是AC与平面PCD所成角. 在直角梯形BAPC中，AB=2，BC=10，CD=4， ∴AD2=BC2—（CD—AB）2=96，∴AC= 在Rt△CDP中，PD= 同样可求PA= 在Rt△AEC中 , 例3.三棱锥的底面是底边长为12，腰长为10的等腰三角形，它的侧面与底面都成45°的二面角，求这个棱锥的高. 解：如图，三棱锥P—ABC，∵△ABC为等腰三角形，且AB=12，AC=BC=10， ∴内切圆半径为3. 又∵侧面与底面所成角均为45°，∴P在△ABC上的射影为△ABC的内心，设P在面ABC上的射影为O，取AB的中点D，连结OD，则OD=3，且∠PDO=45°，∴PO=OD=3. 即所求棱锥的高为3. 例4.已知：如图，三棱锥S—ABC，SC∥截面HGFE∥AB，求证：截面EFGH是平行四边形. 证明：∵SC∥截面HF，SC平面ASC 且平面ASC∩平面HF=HG. ∴SC∥HG, 同理SC∥EF，得EF∥HG 同理AB∥EH，AB∥GF，得HE∥GF ∴载面EFGH为平行四边形. 例5.如图，三棱锥P—ABC中，PA=PC，∠APC=∠ACB=90°，∠BAC=30°，且平面PAC⊥平面ABC. 求证：平面PAC⊥平面PBC. 求二面角P—AB—C的正弦值. 证明：∵平面PAC⊥平面ABC，面PAC∩面ABC=AC，又BC⊥AC， ∴BC⊥平面PAC，又∵BC平面PBC， ∴平面PAC⊥平面PBC. 证明：过P作PD⊥AC于D，则PD⊥平面ABC，过D作DE⊥AB于E， 连PE ∵面PAC⊥面ABC ∴PD⊥面ABC. 由三垂线定理知PE⊥AB， ∴∠PED为二面角P—AB—C的平面角. 设PA=PC=a，∵∠APC=90°， ∴PD= 且AD=CD= 又∵∠CAB=30°，∴ED=