棱椎典例剖析(第一课时).docVIP

［例1］求证平行于三棱锥的两条相对的棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形. 已知：如图9—143，三棱锥S—ABC，SC∥截面HFAB∥AB，求证：截面EFGH是平行四边形. 证明：∵SC∥截面HF，SC平面ASC，且平面ASC∩平面HF=HG. ∴SC∥HG， 同理SC∥EF, AB∥EH,AB∥GF ∴截面EFGH为平行四边形. ［例2］如图9—144，四棱锥P—ABCD底面为一直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，侧面PAD⊥底面ABCD. (1)求证平面PCD⊥平面PAD； (2)若AB=2,CD=4,侧面PBC是一边长等于10的正三角形，求对角线AC与侧面PCD所成的角的正弦值. (1)证明：∵侧面PAD⊥底面AC，CD⊥AD，CD平面ABCD. ∴CD⊥平面PAD， 又∵CD平面PCD， ∴平面PCD⊥平面PAD. (2)解:作AE⊥PD于E，连结CE， ∵平面PAD⊥平面PCD， ∴AE⊥平面PCD，故∠ACE就是AC与平面PCD所成之角. 在直角梯形BADC中，AB=2,BC=10,CD=4. ［例3］正三棱锥V—ABC的底面边长为2，侧棱长为3，过底面AB边的截面交侧棱VC于P (1)若P为VC中点，求截面PAB的面积； (2)求截面PAB的面积的最小值. 解：(1)∵四面体V—ABC为正三棱锥， ∵V在平面ABC上的射影O为△ABC的中心，连结OC并延长CO交AB于D，连结DP，则有CD⊥AB， 由VO⊥面ABC. ∴AB⊥面VOC，∴AB⊥DP. 在Rt△VOC中，可求 ∶∶3=. 由P为VC的中点，根据余弦定理得 ∴PD2=PC2+CD2-2PC·CD·cos∠PCO (2)由(1)知，VC上任一点P与AB的中点D连线都是△APB的高，设PC=x. ∴PD2=PC2+CD2-2PC·CD·cosPCD= 图9—143 图9—144 图9—145