例题（六）（不等式的证明A）.docVIP

［例1］已知α∈(0，π，求证：2sin2α≤. 选题意图：本题给出四种解法，意在考查比较法、分析法、综合法. 证明：方法一(作差比较法)： ∵x∈(0，π) ∴sinα＞0，1－cosα＞0，(2cosα－1)2≥0. ∴2sin2α－≤0. ∴2sin2α≤. 方法二(分析法)： 要证明2sin2α≤成立， 只要证明4sinαcosα≤. ∵α∈(0，π)，∴sinα＞0. 只要证明4cosα≤. 上式可变形为4≤+4(1－cosα) ∵1－cosα＞0， ∴＋4(1－cosα)≥2 当且仅当cosα＝，即α＝时取等号. ∴4≤＋4(1－cosα)成立 ∴不等式2sin2α≤成立. ［例2］若2a2＋6b2＝3，求证：｜a＋b｜≤. 选题意图：本题考查换元法在不等式证明中的应用. 证明：∵2a2＋6b2＝3，∴＝1. 可设a＝sinα，＝cosα，α∈［0，2π. ∴a＝ ∴｜a＋b｜＝｜sinα＋cosα｜ ＝｜α＋α｜＝｜sin(α＋)｜≤ ∴｜a＋b｜≤ 说明：对于ｍa2＋nb2＝c，ｍ、n、c为正常数，a、b为变数，可施行如下三角变换：①右边变1，②令.θ∈[0,2π）(若n＜0，其余条件不变时，可设.) ［例3］已知a＞0,b＞0,c＞0，且a+b+c=1 求证：≤4. 选题意图：本题考查参数法、构造法在不等式证明中的应用. 证明：引入参数ｔ＞0(构造使用均值不等式的条件)，则 ≤ 同理t≤ ≤ (当且仅当时，即a=b=c=时上三式同时取等号) ∴ ≤① 把a=b=c=代入a+b+c=1解得ｔ＝代入①式得 ≤