棱椎从三角形到三棱锥.docVIP

从三角形到三棱锥 学习了立体几何的基本知识后，我们不妨研究一下平面几何与立体几何之间的联系.其实平面几何中的很多性质都可以类比推广到立体几何中去.比如：平面几何中的三角形类比到立体几何中对应的几何体是四面体（或称三棱锥），三角形是平面（二维空间）图象中边数最少的多边形，而四面体则是空间（三维）中面数最少的多面体.我们来看一看三角形有哪些性质可以类比到空间中去. 性质1：在平面上到△ABC三个顶点距离相等的点是三角形三边的垂直平分线的交点，这个点也称为三角形的外心（外接圆圆心）. 如果把“在平面上”几个字去掉，再来研究到三角形三个顶点距离相等的点会是一种什么情形呢？首先这样的点肯定存在（三角形外心就是一例），在平面ABC外是否还有这样的点呢？我们先把研究的问题具体化. ABC所在平面外满足PA=PB=PC的点P是否存在？ 先考虑到A、B距离相等的点.在平面中这样的点的轨迹为线段AB的垂直平分线，不难证明在空间满足此条件的点的轨迹为线段AB的垂直平分面（即过AB中点且与AB垂直的平面.记为）.同理，到A、C两点距离相等的点的轨迹为线段AC的垂直平分面（记为）.显然这两个平面不平行，记交线为m,因为直线m上的任意一点P都满足PA=PB，PA=PC，所以有PB=PC，可知点P也应在线段BC的垂直平分面上，即直线m是AB、AC、BC三条线段的垂直平分面的交线.由此可得：在空间到三角形三个顶点距离相等的点在其三边的垂直平分面的交线上，易证，这条直线垂直于三角形所在平面且通过三角形的外心，这条直线我们不妨称之为三角形的外心线.这个结论还可以如下的角度来表述： 如图1，如果平面ABC外有一点P且PA=PB=PC，那么点P在过△ABC外心且与平面ABC垂直的直线上. 也可以说，到△ABC三个顶点距离相等的点在平面ABC内的射影是△ABC的外心. 思考：三角形还有哪些类似的性质可以推广到空间去？ 不难想到三角形的内心（三条角平分线的交点）、垂心（三条高线的交点）都可以在空间找到对应的图形.对这些性质我们不妨先大胆写出结论，再进行严格证明.在类比中，我们看到，平面中的点常对应空间中的线，平面中的线则常对应空 图1 间中的面. 在平面几何中有这样一个性质： 如图2，△ABC中，B′和C′分别在边AB、AC上，则有 （用公式S△ABC=易证） 将这一性质类比到空间得到相应结论： 图2 性质2：如图3，已知四面体A—BCD中，棱AB、AC、AD上各有一点B′、C′、D′，则有 图3 证明：作DP⊥平面ABC于P，连结A、P并延长AP交BC于E.则平面APD⊥平面ABC.过D′作 ⊥AP于Q，则⊥平面ABC，于是有 练习：下面这些平面中的性质类比到空间应怎样叙述？它是正确的吗？如果正确，你能证明它吗？ 性质3：如图4，正△ABC，过其内任一点P作三边垂线，垂足分别为D、E、F，则PE+PF+PD为定值. 性质4：如图5，点O是△ABC内任意一点，连结AO、BO、CO并延长交BC、CA、AB于点D、E、F.则 图4 图5 性质3、4向空间类比所得命题都是正确的，它们分别可表述为 性质3′：如图6，过正四面体内一点P向四个面作垂线，垂足分别为M1、M2、M3、M4，则PM1+PM2+PM3+PM4为定值. 性质4′：如图7，P为四面体A—BCD内任意一点，连结AP、BP、CP、DP并延长分别交A、B、C、D所对的平面于A1、B1、C1、D1，则 图6 图7 这些性质的证明方法与性质本身的证明类似可以从相应平面性质的证明中类比得到.如性质3、4的证明用到了面积割补思想，类比到空间就是体积割补思想，性质3′、4′的证明问题就迎刃而解了.