（双曲线和简单几何性质）浅谈准线的运用.docVIP

浅谈准线的运用 广东省江门一中　黎国良 圆锥曲线是中学平面解析几何中的重要曲线，从点的集合（或轨迹）的观点看，椭圆、双曲线、抛物线都是到一个定点与到一条定直线距离的比是常数e的点的集合（或轨迹），由于离心率e的不同而分为这三种不同的曲线，其中定直线通常叫作准线．在教学过程中，若能注意运用准线解题，对巩固和加深定义的理解，转化问题的难点，起着重要的作用，如何运用好准线呢？下面以例题浅谈一些体会． 由二次曲线的统一定义可知，动点与焦点的关系可以转化为与准线的关系，这样凡与焦点有关的问题都可以尝试运用准线解决． 例１　已知椭圆方程为x２＋９y２－９＝０，直线l过焦点交椭圆于Ｍ、Ｎ两点，当等于椭圆短轴长时，求直线l的方程． 分析：正确求出直线l的斜率是解题的关键，因椭圆的左焦点为Ｆ１ （－２，０），故可设直线l的方程为： 解方程组： 则Ｍ、Ｎ两点的横坐标是方程：的解． 　　　　　　　　　① 因为条件中含有焦点的问题，所以引入准线如图１，由椭圆定义得： 　　　　　　　　　　　　　② 由①、②得方程：，解得：． ∴所求直线l的方程为：． 例２　已知抛物线y２＝８x的焦点为Ｆ，定点Ａ（４，２），在抛物线上有一动点Ｍ，求的最小值． 分析：本题是属于最值问题，若运用两点间的距离公式求解则很繁，而题目含有焦点的条件，如果运用准线转化，那么通过作图便很易求得，如图：过点Ａ作ＡＮ⊥l交抛物线于Ｍ，由抛物线定义可知： ． 说明：上述运用准线的解题方法，既能加深学生对定义的理解，又简化了解题的过程． 准线有时当作辅助线使用，对化解问题的难点起了一定的作用． 例３　在抛物线y＝x２内有一长为l的线段ＡＢ（l≥１），若线段两端点在抛物线上移动，求此线段中点Ｍ到x轴的最短距离． 分析：本题的解法较多，但运用准线，充分利用图形的几何性质，结合平面几何中的不等式求出最小值，方法简便，设线段ＡＢ的端点为，中点为(x,y)，准线l１的方程为，由抛物线定义得：． 在△ＡＢＦ中，(F在AB上时取等号) ，即当长l的线段过焦点时，其中点到x轴距离最短. 例4 在椭圆上求一点，使它到右焦点的距离等于它到左焦点的距离的３倍． 解：如图４，先求出准线方程：． 设所求点为Ｍ（x，y）．由圆锥曲线的统一定义得： 即， ∴有方程：，解方程得：． ∴所求的坐标为：或． —2—