棱椎典例剖析(棱锥习题课).docVIP

［例1］三棱锥的底面是底边长为12，腰长为10的等腰三角形，它的侧面与底面都成45°的二面角，求这个棱锥的高. 解：如图9—150，三棱锥P—ABC，底面底边长为12，腰AC=BC=10,则侧面与底面都成45°的二面角. ∵△ABC为等腰三角形，且底边AB=12, AC=BC=10， ∴内切圆半径为3. 又∵侧面与底面所成的角相等均为45°， ∴P在△ABC上的射影为△ABC的内心，设P在面ABC上的射影为O，取AB的中点D，连结OD，则OD=3,且∠PDO=45°. ∴PO=OD=3即棱锥的高为3. ［例2］如图9—151，三棱锥P—ABC中，PA=PC,∠APC=∠ACB=90°,∠BAC=30°，且平面PAC⊥平面ABC. (1)求证：平面PAC⊥平面PBC. (2)求二面角P—AB—C的正弦值. (3)若PA=2,求三棱锥P—ABC的体积. (1)证明：∵平面PAC⊥平面ABC，面PAC∩面ABC=AC,又BC⊥AC， ∴BC⊥平面PAC， 又∵BC平面PBC， ∴平面PAC⊥平面PBC. (2)解:过P作PD⊥AC于D，则PD⊥平面ABC，过D作DE⊥AB于E，连结PE. ∵面PAC⊥面ABC，∴PD⊥面ABC. 由三垂线定理知：∴PE⊥AB， ∴∠PED为二面角P—AB—C的平面角. 设PA=PC=a,∵∠APC=90° ∶∶ sinPDE= (3)解:若PA=2,由(2)知， ［例3］已知正四棱锥P—ABCD的底面边长和各侧棱长都是13，M、N分别是PA、BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8. (1)求证：MN∥平面PBC. (2)求直线MN与平面ABCD所成角的正弦值. (1)证明：如图9—152，连AN并延长交BC于E，连结PE， ∵AD∥BC， ∴△AND∽△BNE， ∴EN∶AN=BN∶ND. 又BN∶ND=PM∶MA, ∴EN∶AN=PM∶MA. ∴MN∥PE，又PE平面PBC， ∴MN∥平面PBC. (2)解：由(1)知MN∥PE， ∴PE与平面ABCD所成的角即MN与平面AC所成的角. 设底面中心为O，连结PO，则PO⊥面AC，连结OE，则∠PEO为PE与底面AC所成角， ∵BE∶AD=BN∶ND=5∶8, 图9—150 图9—151 图9—152