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［例1］已知双曲线 (a＞0，b＞0)的焦点坐标是F1(-c,0)和F2(c,0),P（x0,y0）是双曲线上的任一点，求证：｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a-ex0｜，其中e是双曲线的离心率. 选题意图：巩固双曲线的第二定义，给出双曲线焦半径的推导方法. 证明：双曲线的两焦点F1(-c,0)、F2(c,0)相应的准线方程分别是 . ∵双曲线上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个双曲线的离心率. ∴ 化简得：｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a-ex0｜. 说明：｜PF1｜、｜PF2｜都是双曲线上的点到其焦点的距离，习惯称作焦半径.｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a-ex0｜称作焦半径公式. ［例2］双曲线的中心在坐标原点，离心率为4，一条准线方程是,求双曲线的方程. 选题意图：研究离心率、准线与a、b、c的关系，考查准线的几何意义. 解：∵ ∴a=2,c=8,∴. ∴双曲线的方程是. 说明：双曲线的准线总与实轴垂直. ［例3］在双曲线上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍. 选题意图：考查双曲线准线方程、第二定义等基本内容. 解：设P点的坐标为(x,y)，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点. ∵双曲线的准线方程为. ∴. ∵｜PF1｜=2｜PF2｜, ∴P在双曲线的右支上， ∴ 把代入方程得：. 所以，P点的坐标为 此题也可用焦半径解答.
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