棱椎立体几何作辅助线（面）的几点要求.docVIP

立体几何作辅助线（面）的几点要求 立体几何空间想象能力要求高，它的主要特点是借助于图形进行抽象思维，图形成了思维的载体. 在立体几何教学中要十分重视提高学生的画图、识图和添辅助线（面）的能力，进而提高学生的空间想象和逻辑思维能力. 1.画直观图、添辅助线（画），要注意准确性 这里讲的“准确性”指的是要比较直观地、准确地反映点、线、面的位置关系. 例1.已知三棱锥P—ABC的底面是边长为a的正三角形，三棱锥的高为,且PB=PC=2a.求： (1)A到平面PBC的距离； (2)PA与平面ABC所成角的大小. 图1～3都是例1的直观示意图，PO皆表示P到平面ABC的距离，即棱锥的高PO，AG表示A到平面PBC的距离. 这里的问题是，图1～3都符合题意吗？ 分析题中条件，只有PA的值不确定.用运动观点视△PBC绕BC旋转，PO是定值，P在平面ABC内的射影O有可能在BC边的两侧.图1和图3中，最多只有一种可能是对的. 如图1、图2、图3中，在Rt△POD中， 图1 图2 图1中，OD=图1不合题意. 如图2，图3，∵VP-ABC=VA-PBC，∴AG= 易证：∠PAO是平面ABC与直线PA所成的角.在图3中，由AO=OD—AD=，在图2中，由AO=AD+OD= 图3 通过例1的讨论，既淘汰常规思维的示意图1，又防止图2、图3的遗漏.展现过程，充分发挥图形这个载体，提高分析问题的能力. 例2.如图4，三棱锥A—BCD，侧棱AD⊥侧面ABC，侧面ABD⊥底面BCD，且AB=m，AC=n，AD=p.求：二面角A—BC—D的大小. 由于思维定势的影响，常会有这样的思路，∵DA⊥侧面ABC，作辅助线，得∠AED是二面角A—BC—D的平面角，再求它的大小.（如图4） 然而，求∠AED的大小，十分困难.上面添的辅助线不准确，实质上，二面角A—BC—D的平面角是∠ABD. 图4 简证：∵平面ABD⊥平面BCD，如图5， ABD∠ABD是二面角 A—BC—D的平面角. 本题二面角A—BC—D的平面角已隐含在图形中.寻找（或构造）二面角的平面角的过程，实质是应用线、面的性质的过程. 在Rt△ABD中 ,∠ABD=arctan=arctan 图5 例3.如图6，在平面内有△ABC，在平面外有点S，斜线SA⊥AC，SB⊥BC，且SA，SB分别与平面所成的角相等. (1)求证：AC=BC； (2)又设点S与平面的距离是4厘米，AC⊥BC且AB=6厘米，求点S与直线AB的距离. 如图7、图8，S在平面内的射影为O. 图6 图7 图8 解本题的关键是图7、图8中，哪一个直观图符合题意呢？ 在△ABC中，∠ACB可能是锐角、直角、钝角. ∵SO⊥底面ABC，SA⊥AC，SB⊥BC， ∴OA⊥AC，OB⊥BC. 可得图7辅助线添法是准确的. 2.追求添置辅助线的合理法 九年义务教育数学大纲明确提出：“要进一步培养运算能力”“能够根据题目条件寻求合理简捷的运算途径”. 立体几何中辅助线添置得合理，则有助于问题的解决和运算的简捷. 例4.斜四棱柱ABCD—A1B1C1D1每一个侧面都是有一个锐角为60°，边长为a的菱形，底面有一锐角为45°.求： 现在问题是该从上底面A1B1C1D1中哪一个顶点向下底面作棱柱的高，使计算高时合理简捷. 可以分析得到，侧面上有一条侧棱（例CC1）相邻两侧面底角都是60°，一条侧棱（例AA1）相邻两侧面底角都是120°.另两条侧棱（例BB1或DD1）相邻两侧面底角一个是60°，另一个是120°.（图10为棱柱侧面展开图）. 又根据高中数学教材中基本图形（图11），空间一点（C）到角的两边OA、OB距离相等（或∠COB=∠COA），则这点（C）在平面（BOA）的射影H在角（∠AOB）的平分线上. 图10 图11 显然从C1向底面作垂线是最佳选择（图9）C1的垂足刚刚落在AC上（即菱形ABCD中∠ACB的角平分线上），无论∠ACB等于45°还是135°，不难求出棱柱的高. 例5.已知四面体ABCD，AB⊥平面BCD，BD⊥DC，AB=4，BD=3，BC=6.求：二面角B—AC—D的大小. 思路1：. 思路2：易推得平面ABD⊥平面ADC. 图12 首先在平面BAD中，作B