立体几何教学中的语言艺术（直线和平面垂直的判定和性质）.docVIP

立体几何教学中的语言艺术 教学是一门艺术，数学教学也不例外.如何把数学中枯燥的定义、定理及有关解题方法通过适当的整理归纳，然后用生动的语言传授给学生，进而激发学生学习兴趣，加深对有关概念、法则的理解，增强记忆效果，提高课堂效益，这是广大数学教师值得研究的一个课题.本文就立体几何教学中如何利用学生熟悉的词语，通过引伸、挖掘，结合课本中相关内容与解题方法进行讲解和传授所做的一点尝试，和大家共磋. 1.三垂线定理的核心——“立竿见影” 立几中斜线长定理及三垂线定理的运用都离不开线面垂直，只有“立竿”，才能“见影”.同样在求线面角和面面角时也少不了“立竿”.在应用三垂线定理时，不但要熟悉沿垂线方向投影，而且要触类旁通，在侧面上也能“立竿见影”. 例1.如图2，在棱长为3的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AA1和AB上的点，使得C1E⊥EF，且A1E：EA=1:2，求AF的长. 图2 分析：t△EFC1求EF的长，进而求出AF的长，这样做很麻烦.这里我们应很好地利用C1E⊥EF这个条件.如果把B1C1看成是面A1ABB1之“竿”，就能见到EC1的影EB1，由三垂线定理可得B1E⊥EF，这样求解AF就大大方便了. 解：连结EB1，∵C1B1⊥面A1ABB1，∴斜线EC1在平面A1ABB1上的射影是EB1，∵C1E⊥EF，由三垂线定理的逆定理可知B1E⊥EF，容易证明△A1B1E∽△AEF，∴知A1B1=3，A1E=1，EA=2， 2.转换图形求体积——战略转移 在立体几何中有关距离、面积问题如果直接从题设图形中去观察，生搬硬套，往往无从着手，若能进行战略“转、移”，问题就会变难为易，迎刃而解. 例2.已知直三棱柱ABC—A1B1C1用一个平面去截它，得截面△A2B2C2，且AA2=h1，BB2=h2，CC2=h3， . 分析：所求体积的几何体是我们所不熟悉的，无法利用公式来解，故可作分割，进行战略“转”“移”. 简解：连结A2B、A2C和BC2，如图3，根据等底（底面）等高面（体）积相等知识可得： 图3 注：分割和“转移”是求体积问题的一种重要手段. 3.求点面距离的一般途径——以点带面 立体几何中，点面距离是所有距离问题的中心问题，大多数距离均可转化为点面距离进而得到解决，而求点面距离之关键是找出表示距离的线段，这线段长度必须是易求的，因此必须熟悉一般求点面距离的必要途径，以点带面. 例3.（1991年高考理科第23题）已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求点B到平面EFG的距离. 分析：求点B到平面EFG的距离之关键是找出表示这一距离的线段，直接找有困难，故可作转移，∵BD∥平面EFG，设AC交BD于O，问题转化为求点O到平面EFG的距离，如果直接过O点作面EFG的垂线，垂足为K，则K点在平面EFG何处难以确定.故可先过O点作（找）平面EFG的垂面，这就是所谓的“以点带面”，然后由面面垂直的性质找出代表距离的线段.求线段长度时又可取其相关一部分平面图，“挖”出来进行分析求解，这种手段又可称为“弃暗投明”. 证明：如图4连结BD，则BD∥平面EFG（证明略）.设AC∩BD=O，则O点到平面EFG距离等于B点到平面EFG的距离.又设EF∩AC=H，连结HG，容易证明平面GHC⊥平面EFG，这样过O点作OK⊥HG，K为垂足，由面面垂直的性质可知OK⊥平面EFG，即OK长度就表示点O到平面EFG的距离.如图5，由已知可求得HO=HG=由于△HKO∽△HCG，∴ 即点B到平面EFG的距离是 图4 图5