（双曲线和简单几何性质）双曲线比值（第二）定义的应用.docVIP

［例5］已知点A（3，0），F（2，0），在双曲线x2-=1上求一点P，使|PA|+|PF|的值最小. 解：∵a=1,b= ∴c=2 ∴e=2 设点P到与焦点F（2，0）相应准线的距离为d 则=2 ∴|PF|=d ∴|PA|+|PF|=|PA|+d 至此，将问题转化成在双曲线上求一点P，使P到定点A的距离与到准线距离和最小.即到定点A的距离与到准线距离和最小为直线PA垂直于准线时，解之得，点P（，2） 评述：灵活巧妙地运用双曲线的比值定义于解题中，将会带给我们意想不到的方便和简单.教学中应着重培养学生灵活运用知识的能力. ［例6］已知:M(x1,y1)是双曲线上一点. 求:点M到双曲线两焦点F1、F2的距离. 分析：利用双曲线的第二定义. 解：如图，设点M到相应焦点F1、F2的准线的距离为d1、d2. 当M点在双曲线的右支上时，x1≥a,且有 ∴|MF1|=ed1=e|x1+|=ex1+a |MF2|=ed2=e|x1-|=ex1-a 当点M在双曲线的左支上时， x1≤-a,且有 ∴|MF1|=ed1=e|x1+|=-(ex1+a) |MF2|=ed2=e|x1-|=-(ex1-a) 评述：以上结论称为双曲线的焦点半径公式，它在解题过程中发挥着很大的优越性，可使解题过程的运算量简化，从而得到避繁就简效果.例如： 在双曲线的一支上有三个不同点A(x1,y1)、B2(x2,6)、C(x3,y3)与焦点F1（0，5）的距离成等差数列，求y1+y3的值. 解：直接利用焦半径公式，得 |AF1|=ey1-a,|BF1|=6e-a, |CF1|=ey3-a ∴|AF1|+|CF1|=2|BF1| ∴e(y1+y3)-2a=12e-2a 即y1+y3=12 注意：一般地，在涉及到双曲线上的点到焦点的距离问题，应用焦半径公式是一种简单快捷的方法.