（双曲线和简单几何性质）例题（二）.docVIP

［例1］已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过P1(-2,)及P2()两点, 求双曲线的标准方程. 选题意图：考查用待定系数法求双曲线方程的基本技能. 解：因为双曲线的焦点在y轴上，所以设所求双曲线的标准方程为 (a＞0，b＞0) ① 因为点P1、P2在双曲线上，所以点P1、P2的坐标适合方程①，将(-2,)、(，4)分别代入方程①中，得方程组 令m=,则方程组化为 解这个方程组得 即16.所以所求双曲线的标准方程为 . 说明：在使用待定系数法时，是将标准方程中的a、b作为待定系数，通过解方程组的办法求出a、b，由于a、b在分母上，并且是二次的，这种情况学生以前没有接触过，是一个难点，本题采用换元法，把方程化为二元一次方程组，体现了由繁至简的化归思想 . ［例2］一炮弹在某处爆炸，在F1(-5000，0)处听到爆炸声的时间比在F2(5000，0)处晚秒，已知坐标轴的单位长度为1米，声速为340米/秒，爆炸点应在什么样的曲线上?并求爆炸点所在的曲线方程. 选题意图：考查运用数学概念、公式解决实际问题的能力. 解：由声速为340米／秒可知F1、F2两处与爆炸点的距离差为340×=6000(米)，因此爆炸点在以F1、F2为焦点的双曲线上. 因为爆炸点离F1处比F2处更远，所以爆炸点应在靠近F2处的一支上. 设爆炸点P的坐标为(x,y)，则 ｜PF1｜-｜PF2｜=6000，即2a=6000,a=3000. 而c=5000,∴b2=50002-30002=40002, ∵｜PF1｜-｜PF2｜=6000＞0，∴x＞0， 所求双曲线方程为 说明：在Ｆ１处听到爆炸声比Ｆ２处晚秒，相当于爆炸点离Ｆ１的距离比Ｆ２远6000米，这是解应用题的第一关——审题关；根据审题结合数学知识知爆炸点所在的曲线是双曲线，这是解应用题的第二关——文化关(用数学文化反映实际问题).借助双曲线的标准方程写出爆炸点的轨迹方程是解决应用题的第三关——数学关(用数学知识解决第二关提出的问题). ［例3］若双曲线y2-x2=1上的点P与其焦点F1、F2的连线互相垂直，求P点的坐标. 选题意图：考查综合运用垂直、方程等基础知识解决实际问题的基本技能. 解：设P点的坐标为(x,y)， ∵双曲线的焦点为F1(0，-)、F2(0，)， ∴ ∵PF1⊥PF2 ∴ 即x2+y2=2 ①，而y2-x2=1 ②, 由①②得 ∴P点的坐标为：、、、 说明：满足本题条件的点P在以Ｆ１Ｆ２为直径的圆上，故也可借助求圆与双曲线交点来解答本题.