1.3.2+空间向量运算的坐标表示　课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册.pptxVIP

1.3.2空间向量运算的坐标表示

1．会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题．(数学运算)2．掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．(逻辑推理、数学运算)3．掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．(逻辑推理、数学运算)学习目标

?问题1：有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？探究?如何证明？

下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示.由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的.例如，我们有：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.?

类似平面向量运算的坐标表示，我们还可以得到：??

你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？??探究

判断正误××√√巩固

?(-1,-1,1)(5,-11,19)168解析:m+n=(1,-3,5)+(-2,2,-4)=(-1,-1,1),3m-n=3(1,-3,5)-(-2,2,-4)=(5,-11,19),(2m)·(-3n)=(2,-6,10)·(6,-6,12)=168.4?

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题型一：空间向量的坐标运算??

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方法技巧：关于空间向量坐标运算的两类问题(1)直接计算问题首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.(2)由条件求向量或点的坐标首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程(组)，解方程(组)求出其坐标.

题型二：空间向量的平行与垂直??

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点.求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.

证明如图，建立空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连接NE，又NE与AM不共线，∴NE∥AM.又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，∴AM∥平面BDE.

(2)AM⊥平面BDF.又DF∩BF＝F，且DF?平面BDF，BF?平面BDF，∴AM⊥平面BDF.

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题型三：利用空间向量解决夹角、距离问题??

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是AA1,CB1的中点.(1)求BM,BN的长.(2)求△BMN的面积.题型三：利用空间向量解决夹角、距离问题解:以C为原点,以CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是AA1,CB1的中点.(1)求BM,BN的长.(2)求△BMN的面积.题型三：利用空间向量解决夹角、距离问题

方法技巧：1.利用向量坐标求异面直线所成角的步骤(1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；(2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；(3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角.

方法技巧：2.利用向量坐标求空间中线段的长度的步骤(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)求出线段端点的坐标；(3)利用两点间的距离公式求出线段的长.

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若2a－b＝(2，－4，3)，a＋2b＝(1，3，－1)，则cos〈a，b〉＝________．(2)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，同理可得y1＝－1，y2＝2，z1＝1，z2＝－1，即a＝(1，－1，1)，b＝(0，2，－1)，a·b＝0－2－1＝－3，

正方体ABCD－A1B1C1D1中，若G是A1D的中点，点H在平面ABCD上，且GH∥BD1，试判断点H的位置.利用空间向量解决探索性问题设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，因为点H在平面ABCD上，设点H的坐标为(m，n，0)，

正方体ABCD－A1B1C1D1中，若G是A1D的中点，点H在平面ABCD上，且GH∥BD1，试判断点H的位置.利用空间向量解决探索性问题即当H为线段AB的中点时，GH∥BD1.

?课堂小结

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