1.2++空间向量基本定理+课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 (1).pptxVIP

空间向量基本定理1.2第一章空间向量与立体几何

了解空间向量的夹角；掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法，培养直观想象、数学运算2．了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义，培养直观想象的核心素养．3．掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，掌握利用向量数量积求空间两点间的距离，提升逻辑推理1.了解空间向量基本定理及其意义，并会用基底表示空间向量，掌握空间向量的正交分解．2．初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法，提升直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养．

任务一空间向量基本定理任务二证明平行、共面问题任务三垂直、夹角问题

任务一空间向量基本定理

(阅读教材P11－12，完成探究问题)问题．类比平面向量基本定理，p是空间任意一个向量，对于空间三个不共面的向量a，b，c，向量p能否可以用向量a，b，c来表示？OPQ问题导思提示：同理可知，向量a，b，c可以表示向量p.

知识点1：空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．知识点2：基底如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．

知识点3：正交分解(1)单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．(2)正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk．像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．

提示：(1)不能，因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面．(2)有影响，不同基底下，同一向量的表达式不同．(3)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．微思考(1)基底中能不能有零向量？(2)选取不同的基底对同一向量的表达式有无影响？(3)基底和基向量是同一概念吗？有什么区别？提示：(1)不能，因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面．(2)有影响，不同基底下，同一向量的表达式不同．(3)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．

已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底．基底的判断1例1已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{e1,e2,e3}能否作为空间的一个基底．

解：假设共面．则存在实数λ，μ使得，所以e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，因为e1，e2，e3不共面，所以此方程组无解，所以不共面，所以可以作为空间的一个基底．

规律方法基底的判断思路1．判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．2．判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．

1对点练(2024·北京通州高二期中)如图，在平行六面体ABCD--A1B1C1D1中，可以作为空间向量的一个基底的是()C

2对点练若是空间的一个基底，且向量a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋te3不能构成空间的一个基底，则t＝__________．-1解析：

已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底．用基底表示空间向量2例2

已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底．用基底表示空间向量2例2变式

规律方法用基底表示任一向量的方法1．线性运算法：用基底表示空间向量