1.4.1.1空间中点、直线和平面的向量表示课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册.pptxVIP

上一节，我们把向量从平面推广到空间，并利用空间向量解决了一些立体几何问题.引入课题本节我们进一步学习立体几何中的向量方法.立体几何研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形.为了用空间向量解决立体几何问题，首先必须把点、直线、平面的位置用向量表示出来.1.4用空间向量研究直线、平面的位置关系1.4.1第1课时空间中点、直线和平面的向量表示

新知探究???定原点（参照物）OP回顾：直线的方向向量：换句话说，直线上的非零向量叫做直线的方向向量.?P292，P41习题1

注：直线的方向向量不是唯一的，它们都是共线向量．

?D?练习巩固题型一：求直线的方向向量

?lA?新知探究点动成线

?AP?lB??O?①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.新知探究

?

思考3：一个定点和两个定方向能否确定一个平面?如何用向量表示这个平面??α?A?P??新知探究?

进一步地,如右图示,取定空间任意一点O,可以得到,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式.由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.αPCOAB新知探究即一个定点和两个定方向能确定一个平面.

ABPC推论1空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在唯一有序实数对(x,y),使O?拓展：判定四点共面的方法：

?系数和等于1APCBO???推论2：

思类比归纳A，B，P三点共线的充要条件是什么？P与A，B，C四点共面的充要条件是什么？P与A，B，C共面P与A，B共线

1．对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是()A．共面向量 B．共线向量C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量AA2．若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则()A．P∈直线ABB．P?直线ABC．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上D．以上都不对0.5

4．对空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，能得到P在平面ABC内的是()当堂自评A检当堂检测

αA?由此得到启发，我们可以利用点A和直线l的方向向量来确定平面.思考4：一个定点和一个定方向能否确定一个平面？l新知探究?

?αAl?mP?新知探究2.平面的法向量?一个平面的法向量有无数个，与平面垂直的非零向量都叫做平面的法向量.它们是共线向量，且均垂直于该平面内的任意一个向量.

?ACDBC1D1B1A1M直接法?题型二：求平面的法向量待定系数法

z是自由变量?ACDBC1D1B1A1M

利用待定系数法求法向量的步骤设向量设平面法向量n=(x,y,z)列方程组选向量在平面内选取两个不共线向量AB,AC取x,y,z中一个为非零值(常取±1)赋值结论得到平面的一个法向量n·AB=0n·AC=0列出等式方法总结[说明]上述不定方程组有无数个解,平面的法向量相应地就有无数多个,它们都是非零向量的共线向量。设定某个坐标为常数（常数不能为0）便可得到平面的一个法向量.P291,3

P41习题2

??xyz练习巩固

?ACDBC1D1B1A1练习巩固

向量名称图示求法直线的方向向量平面的法向量直线的方向向量和平面的法向量的求法例题小结①设平面α的法向量；③列方程组；④解方程组，得出结论.①找到l⊥α；②l的方向向量即为平面的法向量.①取两点；②定向量.②求平面α内的不共线向量；方法总结