1.4.1.1+空间中点、直线和平面的向量表示+课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册.pptxVIP

1.4.1.1空间中点、直线和平面的向量表示人教A版（2019）选择性必修一

学习目标1.能用向量语言描述点、直线和平面，体现数学抽象能力（重点）2.掌握平面法向量的求法，体现逻辑推理能力（重难点）

1新课导入我们已经把向量从平面推广到空间，并利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量的问题.我们发现，建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决立体几何问题的关键.点、线、面是空间的基本图形，点、线段、平面图形是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量研究立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、线、面.所以我们这节课先学习点、直线和平面的向量表示.

新课学习3思考一下：在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.定点OPp

新课学习思考一下：我们知道，空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l.如何用向量表示直线l?用向量表示直线l，就是要利用点A和直线l的方向向量表示直线上的任意一点.?PaAB

新课学习进一步地，如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使PaABO①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.

新课学习证明一下上面的结论：设l是空间中的任意一条直线，点M为其上一点，点P为其上任意一点，b为方向向量，所以直线上任意一点P能用直线上一点M及直线的方向向量表示，且一个实数t对应直线上唯一一个点P.所以空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.

新课学习思考一下：一个定点和两个定方向能否确定一个平面？进一步，一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？我们知道，平面α可以由α内两条相交直线确定.如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x,y)，使得这样，点O与向量a，b不仅可以确定平面α，还可以具体表示出α内的任意一点.这种表示在解决几何问题时有重要作用.αPabO

新课学习思考一下：根据上面的结论，试着总结一下空间中一个平面的向量表达式？如图，取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式．由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．αPabBCAO

新课学习证明一下上面的结论：设平面α为空间中任意平面，e，f是平面α内两个不共线向量，P为平面α内任意一点，M为平面α内的点，则所以平面内任意一点P能用平面内一点M及平面α内两个不共线向量表示，且唯一一对实数对(x，y)对应平面内唯一一个点，即空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.

新课学习思考一下：我们知道，给定空间一点A和一条直线l，则过点A且垂直于直线l的平面是唯一确定的．由此得到启发，我们可以利用点A和直线l的方向向量来确定平面，那么，如何用向量表示上面的关系？如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合αlAPa

新课学习思考一下：如果另有一条直线m⊥α，在直线m上任取向量b，b与a有什么关系？因为垂直于同一平面的两条直线平行，故当两条直线l⊥α，m⊥α时，直线l的方向向量a与直线m的方向向量b共线.mb结论：平面的法向量并不唯一，它们的模长可以不同，其方向相同或相反.

新课学习例1：如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点．以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)求平面BCC1B1的法向量;分析：平面BCC1B1与y轴垂直，其法向量可以直接写出.因为y轴垂直于平面BCC1B1，所以n1=(0,1,0)是平面BCC1B1的一个法向量．

新课学习(2)求平面MCA1的法向量．?因为AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点，所以M，C，A1的坐标分别为(3,2,0),(0,4,0),(3,0,2)．因此设n2＝(x,y,z)是平面MCA1的法向量，则

新课学习所以所以取z=3，则x=2，y=3.于是n2=(2,3,3)是平面MCA1的一个法向量．求平面的法向量，通常只需要求出平面的一个法向量.求直线的方向向量也是如此.

新课学习拓展：对平面法向量的理解1.平面的法向量为非零向量；2.平面的法向量与平面内任一向量垂直，即平面的法