1.1.1空间向量及其线性运算课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 (1).pptxVIP

1.1.1空间向量及其线性运算

学习目标1.经历向量及其运算由平面空间推广的过程，了解空间向量的概念，发展数学抽象素养；2.掌握空间向量的加法、减法、数乘运算及其表示；3.掌握空间向量加法、减法、数乘的运算律；4.借助向量的线性运算的学习，提升数学运算素养.

通过“平面向量及其运用”的学习，我们知道，平面内的点、直线可以通过平面向量及其运算来表示，它们之间的平行、垂直、夹角、距离等关系可以通过平面向量运算而得到，从而有关平面图形的问题可以利用平面向量的方法解决.在“立体几何初步”中，我们用综合几何方法研究了空间几何体的结构特征以及空间点、直线、平面的位置关系.一个自然的想法是，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量表示空间中点、直线、平面等基本元素，通过空间向量运算解决立体几何问题.复习引入

1、定义：平面内既有大小又有方向的量。几何表示法:用有向线段表示字母表示法：用小写字母表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。3、相等向量：长度相等且方向相同的向量ABCD2、表示法：复习

向量加法的三角形法则ab向量加法的平行四边形法则ba向量减法的三角形法则aba－ba＋ba(k0)ka(k0)k向量的数乘a首尾相接,首尾连共起点,对角线共起点,连终点,指向被减向量复习

（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。复习

加法交换律：加法结合律：数乘分配律：复习

空间向量的有关概念

起点终点定义：既有大小又有方向的量。表示几何表示法：有向线段符号表示法：长度（模）你能类比平面向量的定义和表示，给出空间向量的概念和空间向量的表示吗？向量的大小，记作探究不在任何一个平面内的三个向量：

平面向量空间向量零向量：单位向量：相反向量：相等向量：共线向量：长度为0的向量，记作:模为1的向量.

?√×××巩固√

思考：空间两条直线可能存在怎样位置关系？两个空间向量呢？ababOAB任意两个空间向量都可以平移到同一平面内，成为同一平面内的两向量。思考空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合.因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面。

空间向量的线性运算

平面向量的加法、减法和数乘运算的定义及运算法则是什么？你能类比它们得出空间向量的加法、减法和数乘运算的定义及运算法则吗？探究

(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.??空间向量的加减运算及运算律

?相反????空间向量的数乘运算

O●ABCO●ABC证明结合律：由以上证明可以看出，证明空间向量的加法结合律时，由于三个向量可能不同在任何一个平面内，因此证明方法与平面向量有所区别.对于空间向量线性运算的其他运算律，它们都只涉及同一平面内的向量，因此证明方法与平面向量相同.

ABCDA1B1C1D1GM探究：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量表达式,并标出化简结果的向量

?ABCDA1B1C1D1GM探究：从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？推广：

平面向量运算律空间向量交换律：结合律分配律?????由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算.

?AB巩固?

向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反.故D正确.D?巩固

如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.巩固

ABECFD空间四边形ABCD中,E、F分别是BC、CD边的中点,化简：巩固?

共线向量的判断和使用

平面向量共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？?探究

??方向向量空间中的平行/共线向量?

平行或重合?方向向量空间中的平行/共线向量

－8巩固?

典例?∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，“从中间到边边，从部分到整体”

?方法二∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，典例

?归纳总结

共面向量的判断和使用

空间任意两个向量是共面向量，则空间任意三个向量是否共面？不一定，如图所示，空间中的三个向量不共面.探究什么情况下三个空间向量共面呢？

?平行于平面α定义平行于同一个的向量三个向量共面的充要条件向量与不共线向量，共面的充要条件是存在_____的有序实数对(x，y)使__________在平面α内平面唯一?

??

唯一?

?

(多选)对空间任一点O和不共线的三点