2026高一数学同步4.2 4.2.2 第2课时 指数函数性质的应用 （导学案）（原卷版） 数学人教A版2019必修第一册 .docxVIP

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好好学习

4.24.2.2第2课时指数函数性质的应用导学案

(1)能熟练运用指数函数的单调性比较不同幂值的大小，掌握“同底数直接比、不同底数找中间量”的方法。

(2)会解简单的指数不等式，能根据底数范围转化为整式不等式，含参数时能分类讨论。

(3)能建立指数增长/衰减模型解决实际问题（如人口倍增期、森林砍伐年限），体会数学建模思想。

(4)综合运用指数函数的单调性和值域解决复合函数的值域问题，提升逻辑推理和数学运算素养。

教学重点：利用指数函数的单调性比较幂值大小和解指数不等式，指数函数性质在实际问题中的应用（如增长/衰减模型）；

教学难点：底数不同且指数不同时的幂值比较（需灵活选择中间量），含参数的指数不等式求解（需对底数a分a1和

知识点指数型复合函数的单调性

(1)关于指数型函数y＝af(x)(a0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a1还是0a1；二是f(x)的单调性．它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．

(2)若y＝f(u)，u＝g(x)，则函数y＝f(g(x))的单调性有如下特点：

u＝g(x)

y＝f(u)

y＝f(g(x))

增

增

增

增

减

减

减

增

减

减

减

增

(3)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝g(x)，通过考查f(u)和g(x)的单调性，求出y＝f(g(x))的单调性．

情景一：手机内存“缩水”的秘密——指数衰减的直观感知

情景描述

小明刚买了一部标注“128GB内存”的手机，使用时却发现实际可用内存只有118GB。客服解释：手机系统会占用基础内存，且随着使用时间增加，安装的APP会产生缓存文件，缓存量每月会按固定比例增长（可近似看作内存“可用空间”的衰减）。已知手机初始可用内存118GB，使用2个月后可用内存变为110GB，使用5个月后可用内存变为98GB。

小明产生疑问：如果一直不清理缓存，可用内存的减少是均匀的吗？10个月后可用内存会跌破80GB吗？我们能否通过数学方法预测可用内存的变化规律？

设计意图

贴近生活：手机内存是学生日常高频接触的场景，“内存衰减”的现象能快速引发共鸣，降低认知门槛。

启发思考：通过“是否均匀减少”的疑问，引导学生发现“线性减少”与“指数衰减”的差异，自然关联指数函数“底数0a1时单调递减”的性质，为后续“指数衰减模型”的学习铺垫。

驱动探究：“预测10个月后内存”的问题，直接指向“建立函数模型求解”的需求，激发学生运用指数函数性质解决实际问题的求知欲。

情景二：奶茶店的“会员积分”之争——指数增长的实际应用

情景描述

学校附近有两家奶茶店推出会员积分活动：

A店：首次注册送100积分，之后每月积分自动按10%的比例增长（即每月积分=上月积分×1.1）；

B店：首次注册送100积分，之后每月固定赠送20积分（即每月积分=上月积分+20）。

小红纠结该注册哪家店的会员，她计划连续使用1年（12个月），想知道1年后哪家店的积分更多。此外，她还想知道：是否存在某个月，两家店的积分会相等？如果有，是第几个月？

设计意图

生活关联性：奶茶店会员、积分兑换是学生熟悉的消费场景，“选哪家更划算”的问题具有现实决策意义，能调动学生的主动思考。

对比冲突：通过“A店指数增长”与“B店线性增长”的积分规则对比，直观呈现两种增长模式的差异，让学生感受“指数增长后期增速更快”的特点，强化对“指数函数a1时单调递增且增长迅速”性质的理解。

问题分层：“1年后积分对比”可直接用单调性判断，“积分相等的月份”需转化为指数方程求解，既覆盖本节课“比较大小”?“解方程”的核心知识点，又通过梯度问题引导学生逐步深入，激发探索复杂问题的兴趣。

例3比较下列各题中两个值的大小：

（1）；

（2）；

（3）．

【变式】比较下列各组数的大小：

(1)1.52.5和1.53.2；

(2)0.6－1.2和0.6－1.5；

(3)1.70.2和0.92.1；

(4)a1.1和a0.3(a0，且a≠1)．

例４如图4.2-7，某城市人口呈指数增长．

（1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）；

（2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？

【变式】一片森林原来的面积为,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的.

(1)求每年砍伐面积的百分比；

(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年？

(3)今后最多还能砍伐多少年?

1.（20-21高一上·山东青岛·期中）已知，则的大小关系为（????）

A． B．

C． D．

2.（23-