2026高一数学同步4.2 4.2.2 第2课时 指数函数性质的应用（题型专练）（解析版） 数学人教A版2019必修第一册.docxVIP

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4.24.2.2第2课时

指数函数性质的应用

题型一：利用指数函数的单调性比较大小

1.（2024·云南·二模）若，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【知识点】比较指数幂的大小

【分析】根据中间数比较与，根据中间数比较与.

【详解】因为，，

所以，因为，，

所以，所以.

故选：D.

2.（23-24高一上·江苏·课后作业）已知，，，则（????）.

A． B． C． D．

【答案】B

【知识点】比较指数幂的大小

【分析】利用指数函数的单调性，确定这三个数的范围，可比较大小.

【详解】，即；

，即；

，即.

所以有.

故选：B.

3.（多选题）（24-25高一上·全国·课后作业）若，则下列选项中正确的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较指数幂的大小

【分析】根据指数函数的单调性逐项比较指数式的大小关系即可得结论.

【详解】对A，当时，是减函数，所以，故A错误；

对B，当时，函数在上单调递增，故，故B正确；

对C，当时，，则是增函数，故，故C错误；

对D，当时，是减函数，，D正确．

故选：BD.

4.（多选题）（25-26高一上·全国·课后作业）下列大小关系正确的是（）

A． B． C． D．

【答案】BD

【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较指数幂的大小

【分析】A，C项同底，构造指数函数；B项同指数，构造幂函数；项不同底不同指，借助中间值“1”判断．

【详解】A：函数在上单调递增，故，选项A错误；

B：函数在上单调递增，故，选项B正确；

C：函数在上单调递减，故，选项C错误；

D：∵，∴，选项D正确．

故选：BD．

题型二：利用指数函数的单调性解不等式

1.（23-24高二下·浙江·期中）已知，则使成立的实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【知识点】解不含参数的一元二次不等式、判断指数型复合函数的单调性、由指数函数的单调性解不等式、根据函数的单调性解不等式

【分析】先判断函数的单调性，再根据函数的单调性得出不等式，最后解一元二次不等式求解.

【详解】因为,所以是单调递增函数，

又因为，所以,

所以,

所以x的取值范围为.

故选：A.

2.（24-25高一上·上海长宁·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（???）

A． B． C． D．

【答案】D

【知识点】求指数型复合函数的值域、函数不等式恒成立问题

【分析】设，由换元法转化为在区间上恒成立，进而可得.

【详解】设，当时，，

故由题意可得关于的不等式在区间上恒成立，

设，由二次函数的性质可知在区间上单调递减，

故，得，

故选：D

3.（23-24高二下·重庆·阶段练习）若“，”为假命题，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、求指数函数在区间内的值域、对勾函数求最值、函数不等式能成立（有解）问题

【分析】转化为命题的否定为真命题，再分离参数，设新函数求出其最大值即可得到答案.

【详解】由题意得该命题的否定为真命题，

即“，”为真命题，

即，

令，因为，则，

则存在，使得成立，

令，令，则（负舍），

则根据对勾函数的性质知在上单调递减，在上单调递增，

且，，则，则.

故选：C.

4.（24-25高三上·河南·阶段练习）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、求指数函数在区间内的值域、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题

【分析】将命题是假命题转化为其否定是真命题进行分析，通过换元转化为一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题，通过分离参数求最值得到最终结果.

【详解】由题意，命题“”是假命题，

等价于其否定“”是真命题，

令，则对恒成立，

即，需满足，

而，，当且仅当，即时取等号.

所以，即.

故选：A.

题型三：指数函数图象与性质的应用

1.（23-24高一下·广西柳州·期中）已知函数恒过定点，则函数不经过（????）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【知识点】指数型函数图象过定点问题、指数函数图像应用

【分析】由指数函数的性质可知恒过定点，再由指数函数的性质可知不过第二象限.

【详解】由已知条件得当时，，则函数恒过点，

即，此时，

由于由向下平移2个单位得到，且过点，

由此可知不过第二象限.

故选：B

2.（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（???）

A． B． C． D．

【答案】A

【知识点】指数函数图像应用、根据指数型函数图象判断参数的范围

【分析】由