2026版创新设计高考总复习数学（人教B版）-第10节　解三角形的综合应用.docxVIP

第10节解三角形的综合应用

题型分析高考中解三角形的综合应用问题主要涉及的题型有：(1)利用正弦定理、余弦定理求解平面多边形中的边、角、面积问题.(2)结合均值不等式、三角形恒等变换求解三角形中的最值(范围)问题.(3)利用正弦、余弦定理和三角恒等变换证明三角形中的恒等式.

题型一多边形中的解三角形问题

例1如图所示，四边形ABCD为圆O的内接四边形，其中AB＝eq\r(2)，BC＝3，CD＝2eq\r(2)，DA＝1.

(1)求sinD的值；

(2)求四边形ABCD的面积及圆O的半径.

思维建模平面几何中解三角形问题的求解思路

(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；

(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.

训练1如图，在平面四边形ABCD中，BC＝eq\r(3)，BE⊥AC于点E，BE＝eq\r(2)，且△ACD的面积为△ABC面积的2倍.

(1)求AD·sin∠DAC的值；

(2)当CD＝3时，求线段DE的长.

题型二三角形中的最值(范围)问题

例2(2025·长沙联考)如图，在△ABC中，有eq\r(\f(cosB＋1,2))－sinB＝0.

(1)求∠B的大小；

(2)直线BC绕点C顺时针旋转eq\f(π,6)与AB的延长线交于点D，若△ABC为锐角三角形，AB＝2，求CD长度的取值范围.

思维建模三角形中的最值、范围问题的解题策略

(1)定基本量：根据题意画出图形，找出三角形中的边、角，利用正弦、余弦定理求出相关的边、角，并选择边、角作为基本量，确定基本量的范围.

(2)构建函数：根据正弦、余弦定理或三角恒等变换，将所求范围的变量表示成函数形式.

(3)求最值：利用均值不等式或函数的单调性等求函数的最值.

训练2已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq\r(3)a(1＋cosB)＝bsinA.

(1)求B；

(2)若b＝6，求△ABC面积的最大值.

题型三三角形中的证明问题

例3(2022·全国乙卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A).

(1)若A＝2B，求C；

(2)证明：2a2＝b2＋c2.