2026版创新设计高考总复习数学（人教B版）-第1节　数列的概念与简单表示法.docxVIP

课标要求1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).

2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数，理解单调性是数列的一项重要性质，可用来求最值.

【知识梳理】

1.数列的定义

按照排列的一列数称为数列,数列中的每一个数都称为这个数列的项.

2.数列的分类

分类标准

类型

满足条件

项数

有穷数列

项数

无穷数列

项数

项与项

间的大

小关系

递增数列

an+1an

其中

n∈N*

递减数列

an+1an

常数列

an+1=an

摆动数列

从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列

3.数列的表示法

数列有三种表示法,它们分别是表格法、图象法和解析式法.

4.数列的通项公式

如果数列的第n项an与之间的关系可以用一个式子an=f(n)来表示,其中f(n)是关于n的不含其他未知数的关系式,那么这个式子称为这个数列的通项公式.

5.数列的递推关系

如果已知数列的首项(或前几项),且数列的或两项以上的关系都可以用一个公式来表示,则称这个公式为数列的递推关系.

[常用结论与微点提醒]

1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))

2.在数列{an}中，若an最大，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1.))

若an最小，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1.))

【诊断自测】概念思考辨析＋教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.()

(2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.()

(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.()

(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.()

2.(北师大选修二P4T2改编)已知数列{an}的通项公式为an＝9＋12n，则在下列各数中，不是{an}的项的是()

A.21 B.33

C.152 D.153

3.(人教B选修三P13例3改编)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，那么它的通项公式an等于()

A.n B.2n

C.2n＋1 D.n＋1

4.(人教A选修二P8练习T3改编)已知数列{an}满足a1＝2，an＝2－eq\f(1,an－1)(n≥2)，则a5＝______，猜想an＝________.

考点一由an与Sn的关系求通项

例1(1)(2025·太原调研)已知数列{an}满足a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)an＝(n＋1)2，n∈N*，则{an}的通项公式an＝________.

(2)已知数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________.

思维建模1.已知Sn求an的常用方法是利用an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2，))转化为关于an的关系式，再求通项公式.

2.Sn与an关系问题的求解思路

方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解.

方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解.

训练1(1)(2025·济南质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋2n＋1，则{an}的通项公式为________.

(2)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.

考点二由数列的递推关系求通项公式

角度1累加法——形如an＋1－an＝f(n)，求an

例2(2025·苏锡常镇调研)围棋起源于我国，至今已有4000多年的历史.在围棋中，对于一些复杂的死活问题，比如在判断自己单个眼内的气数是否满足需求时，可利用数列有关知识来计算.假设大小为n的眼有an口气，大小为(n＋1)的眼有an＋1口气，且a1＝1，a2＝2，an＋1－n＝an－1(n≥2，n∈N*)，则an的通项公式为________.