2026版创新设计高考总复习数学（人教B版）-第2节　常用逻辑用语.docxVIP

第2节常用逻辑用语

课标要求1.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义.2.理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系.3.理解全称量词命题与存在量词命题的含义，能正确对两种命题进行否定.

【知识梳理】

1.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p?q，则p是q的____________条件，q是p的____________条件

p是q的____________条件

p?q且q?p

p是q的____________条件

p?q且q?p

p是q的____________条件

p?q

p是q的既不充分也不必要条件

p?q且q?p

2.全称量词与存在量词

(1)全称量词:一般地,“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体,称为全称量词,用符号“”表示.

(2)存在量词:“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分,称为存在量词,用符号“”表示.

3.全称量词命题和存在量词命题

名称

全称量词命题

存在量词命题

结构

对M中的任意一个x,有q(x)成立

存在M中的元素x,p(x)成立

简记

?x∈M,p(x)

否定

?x∈M,?q(x)

[常用结论与微点提醒]

1.会区别A是B的充分不必要条件(A?B且B?A)，与A的充分不必要条件是B(B?A且A?B)两者的不同.

2.p是q的充分不必要条件，等价于?q是?p的充分不必要条件.

3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.

4.命题p和?p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难，可判断此命题否定的真假.

【诊断自测】概念思考辨析＋教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)至少有一个三角形的内角和为π是全称量词命题.()

(2)写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词.()

(3)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件.()

(4)若已知p：x＞1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件.()

2.(人教A必修一P22习题1.4T2改编)命题“三角形是等边三角形”是命题“三角形是等腰三角形”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.(人教A必修一P30例4(3)改编)命题“有一个偶数是素数”的否定是________.

4.(人教B必修一P28T4改编)“?x∈[a，＋∞)，x2≥1”是真命题，则实数a的取值范围是________.

考点一充分、必要条件的判定

例1(1)(2024·天津卷)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

(2)(多选)ab＋b－a－1＝0的一个充分不必要条件可以是()

A.a＝－1 B.a＝b

C.b＝1 D.ab＝1

思维建模充分、必要条件的两种判定方法：

(1)定义法：根据p?q，q?p进行判断，适用于定义、定理判断性问题.

(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.

训练1(1)(2025·东北师大附中质检)已知p：eq\f(1,x)1，q：x2＋x－60，则p是q的()

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

(2)在等比数列{an}中，“a10，且公比q1”是“{an}为递增数列”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

考点二充分、必要条件的应用

例2(2025·西安模拟)若“x2－5x＋40”是“a－1xa＋1”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是()

A.(2，3) B.[2，3]

C.(－2，3] D.[－2，3]