2026版创新设计高考总复习数学（人教B版）-第12节　函数与导数中的融合创新问题.docxVIP

第12节函数与导数中的融合创新问题

题型分析高考中函数与导数的新定义压轴题主要涉及以下几个方面：1.定义新函数.2.定义函数的相关点、直线.3.与帕德逼近、洛必达法则、泰勒公式、柯西中值定理(含罗尔中值定理)、微积分、微分几何等高等数学知识相关联.

题型一定义新函数

例1(2025·浙江名校协作体联考)定义max{a，b}＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥b，,b，ab，))已知函数f(x)＝max{lnx，－4x3＋mx－1}，其中x∈R.

(1)当m＝5时，求过原点的切线方程；

(2)若函数f(x)只有一个零点，求实数m的取值范围.

训练1(2025·广州调研)已知函数y＝f(x)，x∈D，如果存在常数M，对任意满足x1x2…xn－1xn的实数x1，x2，…，xn－1，xn，其中x1，x2，…，xn－1，xn∈D，都有不等式eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝2))|f(xi)－f(xi－1)|≤M恒成立，则称函数y＝f(x)，x∈D是“绝对差有界函数”.

(1)函数f(x)＝eq\f(lnx,x)，x≥eq\f(1,e)是“绝对差有界函数”，求常数M的取值范围；

(2)对于函数y＝f(x)，x∈[a，b]，存在常数k，对任意的x1，x2∈[a，b]，有|f(x1)－f(x2)|≤k|x1－x2|恒成立，求证：函数y＝f(x)，x∈[a，b]为“绝对差有界函数”；

(3)判断函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xcos\f(π,2x)，0x≤1，,0，x＝0))是不是“绝对差有界函数”？说明理由.

题型二定义函数的相关点、线或性质

例2(2024·T8二联)记A＝{l(x)|l(x)＝kx＋m，k，m∈R}，若l0(x)∈A，满足：对任意l(x)∈A，均有|f(x)－l(x)|≥|f(x)－l0(x)|，则称l0(x)为函数f(x)在x∈[a，b]上“最接近”直线，已知函数g(x)＝2lnx－x2＋3，x∈[r，s].

(1)若g(r)＝g(s)＝0，证明：对任意l(x)∈A，|g(x)－l(x)|≥1；

(2)若r＝1，s＝2，证明：g(x)在x∈[1，2]上的“最接近”直线为l0(x)＝(2ln2－3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1＋x0,2)))＋eq\f(2＋g（x0）,2)，其中x0∈(1，2)且为二次方程2x2＋(2ln2－3)x－2＝0的根.